根号快速计算牛顿迭代法

mjhcsp2026-04-25 9:06

前言

你是否计算 36\sqrt{36}36 时，立马得出 666 这个答案。

但是，如果我问你，17\sqrt{17}17 等于多少，聪明的你，拿出计算机。额。

如何自己算

用代码可以出来的。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
   cout<<sqrt(17);
}

但是自己咋算，我们可使用牛顿迭代法。

明确根号转化

我们知道，根号就像解方程。

也就是 x2=nx^2= \sqrt{n}x2=n ，求出 xxx，也就是 xxx 是 nnn 的平方根。

那么我们可以将平方根理解成这个东西。

我们可以把 nnn 视为个长方形。

开始算了，与 171717 最接近平方根而且易算的是 161616，那我们就设一条边为 444，那么另一条边就是。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
   printf("%.2lf",17/4);
}

算出来是 4.254.254.25，画出来图就是这样。

这长的也不想正方形，平均一下，(4+4.25)÷2(4+4.25)\div2(4+4.25)÷2。

算出来等于 4.1254.1254.125。

要是除 222 除不进就保留小数。

再此除看看那条边等于多少，大约 4.1214.1214.121。

我们再平均一次 (4.125+4.121)÷2(4.125+4.121)\div2(4.125+4.121)÷2，等于多少，算出结果！

是 4.1234.1234.123。

对照计算机。

一样，如果更大位，小数位数可以算大。

这就是微积分中的牛顿迭代法。

代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
double sqrt(double n) {
    double x = 1;
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        x = (x + n / x) / 2;
    }
    return x;
}
int main() {
    double num;
    cin >> num;
    cout << fixed << setprecision(10);
    cout << sqrt(num) << endl;
    return 0;
}