csp信奥赛C++高频考点专项训练之贪心算法 --【区间贪心】：区间覆盖（加强版）

题目描述

已知有 N N N 个区间，每个区间的范围是 [ s i , t i ] [s_i,t_i] [si,ti]，请求出区间覆盖后的总长。

输入格式

第一行一个正整数 N N N，表示区间个数。

接下来 N N N 行，每行两个正整数，表示 s i s_i si 和 t i t_i ti。

输出格式

共一行，一个正整数，为覆盖后的区间总长。

输入输出样例 1

输入 1

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3
1 100000
200001 1000000
100000000 100000001

输出 1

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说明/提示

对于 40 % 40 \% 40% 的数据， N ≤ 1000 N \le 1000 N≤1000， 1 ≤ s i < t i ≤ 10000 1 \le s_i < t_i \le 10000 1≤si<ti≤10000。

对于 100 % 100 \% 100% 的数据， N ≤ 10 5 N \le 10^5 N≤105， 1 ≤ s i < t i ≤ 10 17 1 \le s_i < t_i \le 10^{17} 1≤si<ti≤1017。

思路分析

给定 N 个闭区间 [ s i , t i ] [s_i, t_i] [si,ti]，需要求它们合并后的总长度。由于坐标最大可达 10 17 10^{17} 1017，不能使用数组差分，必须通过排序 + 贪心合并。

排序：将所有区间按左端点升序排列。这样能保证从左到右依次处理，当前区间只可能和后续区间重叠或相邻。
合并：
- 初始化当前合并段的左右端点为第一个区间的 l 和 r。
- 遍历后续区间：
  - 若当前区间的左端点 a[i].l 大于当前合并段的右端点 cur，说明两段之间有空隙，无法合并。此时将当前段的长度 cur - cul + 1 累加到答案，并开始一个新的合并段（用当前区间重置 cul 和 cur）。
  - 否则（a[i].l <= cur），说明有重叠或相邻（闭区间下 [1,2] 和 [3,4] 不相邻，因为 3 > 2，所以用 > 判断不会错误合并不相邻区间），此时更新当前段的右端点 cur = max(cur, a[i].r)。
- 循环结束后，将最后一段的长度加入答案。
输出：输出累加的总长度。

时间复杂度 O ( N log ⁡ N ) O(N \log N) O(NlogN)，空间复杂度 O(N)。

代码实现

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; // 使用ll表示long long，适应1e17的大数
const int N=1e5+10; // 最大区间数+10
int n; // 区间个数
struct node{ // 区间结构体
    ll l,r; // 左端点、右端点
}a[N]; // 存储所有区间
bool cmp(node a,node b){// 按左端点升序排序的比较函数
    return a.l<b.l;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i].l>>a[i].r;
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp);// 将区间按左端点排序
    ll cul=a[1].l;// 当前合并段的左端点（current left）
    ll cur=a[1].r;// 当前合并段的右端点（current right）
    ll ans=0; // 总覆盖长度
    for(int i=2;i<=n;i++){// 从第二个区间开始合并
        if(a[i].l>cur){// 当前区间与之前段不相连（有间隙）
            ans+=(cur-cul+1);// 加上之前段的长度
            cul=a[i].l; // 开启新段：左端点为当前区间左端点
            cur=a[i].r; // 右端点为当前区间右端点
        }else{ // 可以合并
            cur=max(cur,a[i].r);// 扩展当前段的右端点
        }
    }
    ans+=(cur-cul+1); // 加上最后一段的长度
    cout<<ans; // 输出结果
    return 0;
}

功能分析

输入处理：读取整数 N 和 N 行区间，每个区间包含左右端点。
排序：调用 sort 并传入自定义比较函数 cmp，将所有区间按照左端点从小到大排列。
贪心合并 ：
- 维护当前合并段的左右端点 cul 和 cur，初始化为第一个区间。
- 依次考察每个后续区间：
  - 如果当前区间的左端点大于 cur，说明中间有缝隙，不能合并：将当前段的长度加入答案，并重置新段为当前区间。
  - 否则，说明当前区间与当前段有重叠或恰好相接。
- 循环结束后，将最后一段的长度累加。
输出：打印最终总长度。

正确性：基于排序后贪心合并，每次遇到不重叠区间就结算当前段，保证每个点只被计数一次，最终得到所有区间覆盖的并集总长度。

边界处理：

当 N=1 时，循环不会执行，直接输出 cur-cul+1，正确。
当区间有包含关系时，cur = max(cur, a[i].r) 能正确扩展右端点。
数据范围使用 long long，避免溢出。

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"##########  一站式掌握信奥赛知识!  ##########";
	cout<<"#############  冲刺信奥赛拿奖!  #############";
	cout<<"######  课程购买后永久学习，不受限制!   ######";
	return 0;
}

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
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	cout<<"  csp信奥赛一等奖属于你!   ";
	return 0;
}