第六课《宝石分类挑战赛------分组背包》
🎒故事开始：宝石王国大赛
阿宝已经学会了：
✅ 01背包
每件物品最多选一次
✅ 完全背包
每件物品无限选
✅ 多重背包
每件物品有固定数量
1、这一天，宝石王国举行了一场盛大的比赛：
💎 宝石分类挑战赛
2、国王宣布：
勇士们！
你们可以挑选装备参加比赛！
但是每个类别只能选择一种！
3、阿宝来到宝石仓库。
发现宝石被分成了许多组。
（1）武器组
| 名称 | 重量 | 价值 |
|---|---|---|
| 木剑 | 1 | 2 |
| 铁剑 | 2 | 4 |
| 圣光剑 | 3 | 7 |
（2）头盔组
| 名称 | 重量 | 价值 |
|---|---|---|
| 布帽 | 1 | 1 |
| 铁盔 | 2 | 3 |
（3）鞋子组
| 名称 | 重量 | 价值 |
|---|---|---|
| 草鞋 | 1 | 2 |
| 魔法靴 | 2 | 5 |
4、国王说：
武器只能选一个！
头盔只能选一个！
鞋子只能选一个！
5、阿宝发现：
这和以前的背包完全不同！
第一幕：什么是分组背包？
以前：
1、01背包
（1）每件物品：
选
不选互不影响。
（2）例如：
宝剑
盾牌
药水都能同时拿。
2、而现在：
（1）武器组：
木剑
铁剑
圣光剑（2）只能选：
其中一个（3）不能：
木剑+铁剑❌
（4）不能：
铁剑+圣光剑❌
（5）只能：
木剑或
铁剑或
圣光剑或
一个都不选3、这就是：
🌟分组背包
第二幕：分组背包定义
1、分组背包：
物品被分成若干组
每组最多选一个
2、例如：
（1）武器组
选一个
（2）头盔组
选一个
（3）鞋子组
选一个
3、🌟口诀
每组最多挑一个，
组内物品不能叠。第三幕：先看一个小例子
1、背包容量：
42、两组物品：
第一组
| 重量 | 价值 |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
第二组
| 重量 | 价值 |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 5 |
问：
最大价值是多少？
第四幕：状态定义
1、仍然定义：
dp[i][j]表示：
前 i 组物品
容量 j
最大价值
2、注意！
（1）这里的：
i（2）不再表示：
前i件物品（3）而是：
前i组物品3、🌟这是最容易错的地方
（1）01背包：
dp[i][j]前 i 件物品
（2）分组背包：
dp[i][j]前 i 组物品
第五幕：状态转移
1、来到第 i 组。
2、这一组有：
若干物品3、怎么办？
全部试一遍！
4、例如：
（1）武器组：
木剑
铁剑
圣光剑（2）对于容量 j：
尝试：
选木剑尝试：
选铁剑尝试：
选圣光剑尝试：
一个不选谁更优选谁。
5、🌟状态转移公式
（1）设：
k表示组内某个物品。
（2）重量：
w[i][k]（3）价值：
v[i][k]（4）那么：
dp[i][j]
=
max(
dp[i][j],
dp[i-1][j-w[i][k]]
+
v[i][k]
)（5）含义：
选中了这一组里的某个物品。
第六幕：手算DP表
1、容量：
42、第一组：
| 重量 | 价值 |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
初始化：
| i\j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
处理第一组。
容量1：
选：
重量1
价值2得到：
2容量2：
选：
重量2
价值4得到：
4容量3：
仍然选价值更大的：
4容量4：
4表格：
| i\j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 2 | 4 | 4 | 4 |
第二组：
| 重量 | 价值 |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 5 |
继续更新。
容量4：
选：
第一组重量2价值4
+
第二组重量1价值3
=
7或者：
第一组重量1价值2
+
第二组重量3价值5
=
7答案：
7最终：
dp[2][4]
=
7第七幕：三层循环结构
1、分组背包最经典结构：
（1）第一层
for(i)枚举组
（2）第二层
for(j)枚举容量
（3）第三层
for(k)枚举组内物品
2、模板：
for(i)
{
for(j)
{
for(k)
{
}
}
}3、参考程序：
cpp
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dp[105][1005];
int w[105][105];
int v[105][105];
int cnt[105];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>cnt[i];
for(int j=1;j<=cnt[i];j++)
{
cin>>w[i][j]
>>v[i][j];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
for(int k=1;k<=cnt[i];k++)
{
if(j>=w[i][k])
{
dp[i][j]
=
max(
dp[i][j],
dp[i-1][j-w[i][k]]
+
v[i][k]
);
}
}
}
}
cout<<dp[n][m];
return 0;
}第八幕：压缩成一维进行优化
1、现在开始优化。
（1）压缩成：
dp[j]（2）如果正序：
for(j=0;j<=m;j++)（3）可能发生：
同一组选两件（4）例如：
武器组：
木剑
铁剑更新木剑后。
又更新铁剑。
结果：
木剑+铁剑一起选上了！
❌
违反规则！
所以：
还是必须倒序。
2、🌟标准一维转移
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=m;j>=0;j--)
{
for(int k=1;k<=cnt[i];k++)
{
if(j>=w[i][k])
{
dp[j]
=
max(
dp[j],
dp[j-w[i][k]]
+
v[i][k]
);
}
}
}
}3、完整一维参考程序
cpp
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int w[105][105];
int v[105][105];
int cnt[105];
int dp[1005];
int main()
{
int n,m;
cin >> n >> m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin >> cnt[i];
for(int j=1;j<=cnt[i];j++)
{
cin >> w[i][j] >> v[i][j];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=m;j>=0;j--)
{
for(int k=1;k<=cnt[i];k++)
{
if(j >= w[i][k])
{
dp[j] = max(
dp[j],
dp[j-w[i][k]] + v[i][k]
);
}
}
}
}
cout << dp[m] << endl;
return 0;
}🌟更容易理解的写法
很多竞赛书会这样写：
cpp
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int old[1005];
for(int j=0;j<=m;j++)
old[j]=dp[j];
for(int j=0;j<=m;j++)
{
for(int k=1;k<=cnt[i];k++)
{
if(j>=w[i][k])
{
dp[j]=max(
dp[j],
old[j-w[i][k]]+v[i][k]
);
}
}
}
}（1）这里：
old[]表示：
上一组结束后的状态（2）于是转移就变成：
cpp
当前组 = 从上一组转移（3）即：
dp[j]
=
max(
dp[j],
old[j-w]+v
)这与二维写法：
dp[i][j]
=
max(
dp[i][j],
dp[i-1][j-w]+v
)完全一致。
第九幕：生活中的分组背包
1、很多同学会问：
这个模型有什么用？
2、其实非常常见！
选课系统
数学组选一门
英语组选一门
科学组选一门
游戏装备
武器选一件
头盔选一件
鞋子选一件
旅游套餐
机票选一种
酒店选一种
景点套票选一种
全部都是：
🌟分组背包
🎯本课总结
1、分组背包定义
物品分组。
每组：
最多选一个2、状态定义
dp[i][j]前 i 组
容量 j
最大价值
3、转移公式
dp[i][j]
=
max(
dp[i-1][j],
dp[i-1][j-w]
+
v
)枚举组内所有物品。
4、循环结构
for(组)
{
for(容量)
{
for(组内物品)
{
}
}
}5、一维优化
容量：
倒序🏹课后挑战
1、背包容量：
52、第一组（武器）
| 重量 | 价值 |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 3 | 5 |
3、第二组（头盔）
| 重量 | 价值 |
|---|---|
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
4、第三组（鞋子）
| 重量 | 价值 |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
5、请同学们：
① 画出完整的
dp[i][j]表。② 求出最终答案。
③ 思考：
6、为什么同一组要使用倒序循环？
恭喜你！已经掌握了 分组背包的核心思想！