力扣热题100实战 | 第33期：搜索旋转排序数组——二分查找的变体艺术

礼拜天没时间.2026-04-27 10:29

力扣热题100实战 | 第33期：搜索旋转排序数组------二分查找的变体艺术

当有序数组被旋转，二分查找还能用吗？答案是肯定的，核心在于判断哪一半是单调的。这道题教会我们：在看似混乱的数据中，只要找到一个有序的片段，就能继续用二分缩小范围。

前言

你好，我是@礼拜天没时间。

上一期我们攻克了"最长有效括号"（第32题），掌握了动态规划和栈在括号匹配中的应用。这一期，我们来解一道二分查找的经典变体------搜索旋转排序数组（LeetCode 第33题）。

这道题在力扣上被标记为"中等"，但它却是二分查找思想应用的最佳范例。很多人学完经典二分后，遇到数组被"旋转"一下就不知道该怎么下手了。其实，只要我们能够识别出数组的"部分有序"性质，二分查找依然能够大显身手。

今天，我希望能带你从最朴素的线性搜索出发，一步步推导出二分查找的核心逻辑，并掌握处理边界条件和重复元素的技巧。

一、题目：在旋转数组中找目标值

先看题目描述（LeetCode 第33题）：

整数数组 nums 按升序排列，数组中的值 互不相同 。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了旋转，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]。例如， [0,1,2,4,5,6,7] 在下标 3 处旋转后变成 [4,5,6,7,0,1,2]。

给你旋转后的数组 nums 和一个整数 target ，如果 target 在数组中，则返回它的下标，否则返回 -1 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

复制代码 
输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出：4

示例 2：

复制代码 
输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
输出：-1

示例 3：

复制代码 
输入：nums = [1], target = 0
输出：-1

关键点解读

  1. 唯一性 ：数组中的值互不相同，这简化了问题。进阶版（第81题）允许重复元素，会更复杂。

  2. 旋转定义：本质就是把原有序数组的前面一部分（长度为k）移到末尾，形成"两段有序"的结构。

  3. 时间复杂度要求 ：O(log n)，这直接暗示我们要用二分查找。

  4. 寻找旋转点：不一定需要显式找到旋转点，可以在二分过程中动态判断哪一半是有序的。

二、第一反应：线性扫描（违反要求）

当我第一次看到这道题，我的第一反应是：直接遍历一遍，找到目标值返回下标。

java 复制代码 
class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (nums[i] == target) return i;
        }
        return -1;
    }
}
  • 时间复杂度：O(n) ------ 不符合题目要求
  • 空间复杂度：O(1)

虽然能过测试，但题目明确要求 O(log n)，必须用二分。

三、核心解法：二分查找（判断有序半区）

3.1 核心思想

因为数组原本有序，只是被旋转了一次，所以它有一个重要的性质：对于任意中间点 mid，数组的左半部分 left, mid 和右半部分 mid+1, right 至少有一个是严格递增的。

我们可以通过比较 nums[left] 和 nums[mid] 来判断哪一边是有序的：

  • 如果 nums[left] <= nums[mid]，说明左半部分 left, mid 是递增的（没有旋转点落在这一区间）。
  • 否则，右半部分 mid+1, right 是递增的。

确定了有序半区之后，我们就可以判断目标值是否在这个有序半区内：

  • 如果在，则继续在这个半区内二分。
  • 如果不在，则目标在另一半（无序半区），继续二分。

3.2 算法步骤

  1. 初始化 left = 0, right = nums.length - 1
  2. 当 left <= right 时循环：
    • 计算 mid = left + (right - left) / 2
    • 如果 nums[mid] == target，直接返回 mid
    • 判断左半部分是否有序：if (nums[left] <= nums[mid])
      • 若左半有序，检查 target 是否在 [nums[left], nums[mid]) 范围内：
        • 如果是，则 right = mid - 1
        • 否则，left = mid + 1
    • 否则，右半部分有序：
      • 检查 target 是否在 (nums[mid], nums[right]] 范围内：
        • 如果是，则 left = mid + 1
        • 否则，right = mid - 1
  3. 循环结束返回 -1

3.3 图解流程

以 nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0 为例：

第1步 ：left=0, right=6, mid=3

复制代码 
nums = [4,5,6,7,0,1,2]
        ↑     ↑     ↑
       left  mid   right
  • nums[left]=4 <= nums[mid]=7 → 左半 4,5,6,7 有序。
  • target=0 不在 4,7 内 → 去右半 left=mid+1=4

第2步 ：left=4, right=6, mid=5

复制代码 
nums = [4,5,6,7,0,1,2]
                    ↑
                 left,mid?
准确下标：left=4(0), right=6(2), mid=5(1)
  • nums[left]=0 <= nums[mid]=1 → 左半 0,1 有序。
  • target=0 在 0,1 内 → right=mid-1=4

第3步 ：left=4, right=4, mid=4

  • nums[mid]=0 == target → 返回4 ✅

3.4 代码实现

java 复制代码 
class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            }
            
            // 判断左半部分是否有序
            if (nums[left] <= nums[mid]) {
                // 左半部分有序
                if (target >= nums[left] && target < nums[mid]) {
                    right = mid - 1;
                } else {
                    left = mid + 1;
                }
            } else {
                // 右半部分有序
                if (target > nums[mid] && target <= nums[right]) {
                    left = mid + 1;
                } else {
                    right = mid - 1;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}

3.5 复杂度分析

  • 时间复杂度：O(log n) ------ 每次循环将区间缩小一半
  • 空间复杂度：O(1) ------ 只用了常数变量

四、细节剖析：面试官真正关心的问题

Q1：为什么条件是 nums[left] <= nums[mid] 而不是 <？

答案 ：当 left == mid 时（即区间内只有1或2个元素），nums[left] <= nums[mid] 成立，此时左半部分也是有序的（单个元素自然有序）。如果用 <，可能会在 left == mid 时误判，导致逻辑错误。

Q2：如何判断目标值是否在有序半区？为什么有的用 < 有的用 <=？

答案 ：因为我们已经检查过 nums[mid] == target，所以：

  • 对于左半部分有序，范围是 [nums[left], nums[mid])，左闭右开，因为 mid 已经排除。
  • 对于右半部分有序，范围是 (nums[mid], nums[right]]，左开右闭。
    这样能避免重复判断 mid 位置。

Q3：如果数组没有旋转（k=0），算法还能正确工作吗？

答案 ：能。此时 nums[left] <= nums[mid] 始终成立，算法会一直走左半有序分支，等同于在完全有序数组上进行普通二分查找。

Q4：为什么不需要显式找到旋转点？

答案 ：因为旋转信息隐含在比较 nums[left] 和 nums[mid] 的结果中。我们不需要提前知道旋转点位置，只需要在每次二分时动态判断哪一半有序，然后根据 target 决定下一步搜索区间。

Q5：如果数组中有重复元素（LeetCode 81），这个算法还适用吗？

答案 ：不能直接适用，因为当 nums[left] == nums[mid] 时，无法判断哪一半有序，需要退化到线性扫描或特殊处理。LeetCode 81 提供了进阶版本。

五、面试官追问进阶版

追问1：如何实现一个方法找到旋转数组中的最小值（LeetCode 153）？

思路 ：同样用二分，但比较的是 nums[mid] 和 nums[right]。如果 nums[mid] > nums[right]，说明最小值在右半；否则在左半（包含 mid）。类似地，也可以比较 nums[left] 和 nums[mid]。

java 复制代码 
public int findMin(int[] nums) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] > nums[right]) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid;
        }
    }
    return nums[left];
}

追问2：如果数组旋转了多次（其实等价于一次旋转），是否会影响正确性？

答案：不会。任意次旋转等价于一次旋转（因为旋转是循环移动），我们的算法依然有效。

追问3：如何用递归实现二分？

思路：递归分解子问题，本质上与迭代相同，但递归深度 O(log n) 会有额外空间开销。

追问4：如果数组长度非常大（10⁷），这个二分法仍然高效吗？

答案：是的，二分查找的对数复杂度在数据量极大时优势非常明显。10⁷ 的数据量只需约 24 次比较即可完成。

六、实际开发：这道题到底有什么用？

很多读者会问："旋转数组中查找，实际工作中哪用得到？"

其实它的思想无处不在：

场景1：日志索引查询

日志系统常常按时间戳排序存储，但可能因为系统故障导致部分日志被移动到其他位置（相当于旋转）。二分查找的思想能快速定位特定时间点的日志。

场景2：循环队列中的查找

循环队列在物理上是线性的，但逻辑上是环形的。在环形缓冲中查找元素，可以转化为旋转数组的查找。

场景3：数据库索引中的断裂页

某些数据库索引中，数据页可能因为整理导致顺序被打乱但依然是部分有序，二分查找变体可以用于在这些段中快速定位。

场景4：游戏开发中的物品栏排序

游戏中的背包物品可能按某种顺序排列，但用户可以对物品进行旋转排序（如把前面的物品移到后面），查找特定物品时可以用类似思想。

场景5：算法面试题

这道题是二分查找变体中最经典的考题，考察对二分思想的深刻理解。

七、总结：从一道题到一类题

回顾一下，我们从搜索旋转排序数组学到了什么：

维度 收获
算法思维 线性扫描 → 二分查找，理解"部分有序"性质如何被利用
代码技巧 动态判断有序半区、区间端点比较的细节
复杂度分析 O(log n) 时间、O(1) 空间，最优解
面试要点 为什么要判断有序半区？条件为什么是 <=？如何处理边界？
工程关联 日志索引、环形缓冲、数据库索引、背包管理

力扣热题100的第三十三题，不是为了难住你，而是为了告诉你：二分查找的舞台远不止完全有序的数组。学会识别问题中的"部分有序"，你就能让二分查找的光芒在不完美中继续闪耀。

下一期预告：《在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置》------二分查找的两次运用

附录：思考题

看完这篇文章，你可以试着回答：

  1. 如果数组中允许重复元素（LeetCode 81），上述算法需要怎么调整？
  2. 如何用这个思想解决"旋转数组中的峰值查找"问题？
  3. 你能用这道题的思路，去解 LeetCode 153（寻找旋转排序数组中的最小值）和 LeetCode 154（寻找旋转排序数组中的最小值 II）吗？

欢迎在评论区留下你的思考！

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