csp信奥赛C++高频考点专项训练之贪心算法 --【跳跃与过河问题】：跳跳！

题目描述

你是一只小跳蛙，你特别擅长在各种地方跳来跳去。

这一天，你和朋友小 F 一起出去玩耍的时候，遇到了一堆高矮不同的石头，其中第 i i i 块的石头高度为 h i h_i hi，地面的高度是 h 0 = 0 h_0 = 0 h0=0。你估计着，从第 i i i 块石头跳到第 j j j 块石头上耗费的体力值为 ( h i − h j ) 2 (h_i - h_j) ^ 2 (hi−hj)2，从地面跳到第 i i i 块石头耗费的体力值是 ( h i ) 2 (h_i) ^ 2 (hi)2。

为了给小 F 展现你超级跳的本领，你决定跳到每个石头上各一次，并最终停在任意一块石头上，并且小跳蛙想耗费尽可能多的体力值。

当然，你只是一只小跳蛙，你只会跳，不知道怎么跳才能让本领更充分地展现。

不过你有救啦！小 F 给你递来了一个写着 AK 的电脑，你可以使用计算机程序帮你解决这个问题，万能的计算机会告诉你怎么跳。

那就请你------会写代码的小跳蛙------写下这个程序，为你 NOIp AK 踏出坚实的一步吧！

输入格式

输入一行一个正整数 n n n，表示石头个数。

输入第二行 n n n 个正整数，表示第 i i i 块石头的高度 h i h_i hi。

输出格式

输出一行一个正整数，表示你可以耗费的体力值的最大值。

输入输出样例 1

输入 1

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2
2 1

输出 1

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输入输出样例 2

输入 2

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3
6 3 5

输出 2

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说明/提示

样例解释

两个样例按照输入给定的顺序依次跳上去就可以得到最优方案之一。

数据范围

对于 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n，有 0 < h i ≤ 10 4 0 < h_i \leq 10 ^ 4 0<hi≤104，且保证 h i h_i hi 互不相同。

对于 10 % 10\% 10% 的数据， n ≤ 3 n \leq 3 n≤3；

对于 20 % 20\% 20% 的数据， n ≤ 10 n \leq 10 n≤10；

对于 50 % 50\% 50% 的数据， n ≤ 20 n \leq 20 n≤20；

对于 80 % 80\% 80% 的数据， n ≤ 50 n \leq 50 n≤50；

对于 100 % 100\% 100% 的数据， n ≤ 300 n \leq 300 n≤300。

思路分析

这是一道贪心 + 排序的题目。为了消耗最多的体力值，每次跳跃都应选择与当前石头高度差最大的未访问石头。由于体力值与高度差的平方成正比，平方函数是凸函数，因此极端值（最高、最低）之间的差会产生最大的平方值。

贪心策略：

将所有石头按高度升序排序。
从地面出发，先跳到最高的石头（因为地面高度为0，跳最高得到最大平方）。
然后跳到当前最低的石头，再跳到当前最高的石头，依此类推，形成"之"字形路径。
使用两个指针 l 和 r 分别指向未访问的最低和最高石头，交替访问，直到所有石头都被跳过。

这样每一步都保证了当前石头与上一次石头的差值尽可能大，从而总体力值最大。

代码实现

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n , a[310];
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    sort(a + 1, a + n + 1); //升序排序，范围[1, n]
    long long ans = 0; //体力值可能很大，用long long
    int l = 1, r = n;  //左右指针，指向未跳的石头
    int cur = 0;  //当前所在高度，初始为地面0
    bool flag = true;  //true表示下次取最大，false表示取最小
    while (l <= r) {
        if (flag) { //取当前最大高度的石头
            ans += (a[r] - cur) * (a[r] - cur);
            cur = a[r];
            r--;
        } else { //取当前最小高度的石头
            ans += (a[l] - cur) * (a[l] - cur);
            cur = a[l];
            l++;
        }
        flag = !flag; //交替方向
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

功能分析

输入：第一行整数 n（石头个数，n ≤ 300），第二行 n 个互不相同的正整数（高度 ≤ 10000）。
处理：
1. 将石头高度存入数组 a[1...n] 并升序排序。
2. 初始化当前高度 cur = 0（地面），左右指针 l=1（最小），r=n（最大）。
3. 交替选择当前最大和最小石头跳跃：
  - 从当前高度跳到最大石头（若 flag==true）
  - 从当前高度跳到最小石头（若 flag==false）
4. 每次跳跃后更新 cur 为落脚点高度，并移动对应指针。
5. 循环直到所有石头都被跳过（l > r）。
输出：最大可能消耗的体力值（整数）。
正确性：贪心策略保证每次跳跃选择极端高度差，平方函数凸性使得总和最大。
复杂度：O(n log n) 时间，O(1) 额外空间（不计输入数组）。

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"##########  一站式掌握信奥赛知识!  ##########";
	cout<<"#############  冲刺信奥赛拿奖!  #############";
	cout<<"######  课程购买后永久学习，不受限制!   ######";
	return 0;
}

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
	cout<<"    成就更好的自己！       ";
	cout<<"  csp信奥赛一等奖属于你!   ";
	return 0;
}