csp信奥赛C++高频考点专项训练之贪心算法 --【跳跃与过河问题】：过河问题

题目描述

有一个大晴天，Oliver 与同学们一共 N N N 人出游，他们走到一条河的东岸边，想要过河到西岸。而东岸边有一条小船。

船太小了，一次只能乘坐两人。每个人都有一个渡河时间 T T T，船划到对岸的时间等于船上渡河时间较长的人所用时间。

现在已知 N N N 个人的渡河时间 T T T，Oliver 想要你告诉他，他们最少要花费多少时间，才能使所有人都过河。

注意，只有船在东岸（西岸）的人才能坐上船划到对岸。

输入格式

输入文件第一行为人数 N N N，以下有 N N N 行，每行一个数。

第 i + 1 i+1 i+1 行的数为第 i i i 个人的渡河时间。

输出格式

输出文件仅包含一个数，表示所有人都渡过河的最少渡河时间。

输入输出样例 1

输入 1

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输出 1

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说明/提示

数据范围

对于 40 % 40\% 40% 的数据满足 N ≤ 8 N\le8 N≤8。

对于 100 % 100\% 100% 的数据满足 4 ≤ N ≤ 10 5 , 1 ≤ T ≤ 10 7 4\le N\le10^5,1\le T\leq 10^7 4≤N≤105,1≤T≤107。

样例解释

初始：东岸 { 1 , 2 , 3 , 4 } \{1,2,3,4\} {1,2,3,4}，西岸 { } \{\} {}；
第一次：东岸 { 3 , 4 } \{3,4\} {3,4}，西岸 { 1 , 2 } \{1,2\} {1,2}，时间 7 7 7；
第二次：东岸 { 1 , 3 , 4 } \{1,3,4\} {1,3,4}，西岸 { 2 } \{2\} {2}，时间 6 6 6；
第三次：东岸 { 1 } \{1\} {1}，西岸 { 2 , 3 , 4 } \{2,3,4\} {2,3,4}，时间 15 15 15；
第四次：东岸 { 1 , 2 } \{1,2\} {1,2}，西岸 { 3 , 4 } \{3,4\} {3,4} 时间 7 7 7；
第五次：东岸 { } \{\} {}，西岸 { 1 , 2 , 3 , 4 } \{1,2,3,4\} {1,2,3,4} 时间 7 7 7。

所以总时间为 7 + 6 + 15 + 7 + 7 = 42 7+6+15+7+7=42 7+6+15+7+7=42，没有比这个更优的方案。

思路分析

这是一个经典的过河问题（Bridge and Torch Problem），目标是让所有人从东岸到西岸，船一次最多两人，耗时取较慢者，求最小总时间。

核心贪心策略 （当人数 ≥4 时）：

每次将最慢的两人（c, d）送过河，有两种最优方案：

方案一 ：最快两人（a, b）过河 → a 返回 → 最慢两人（c, d）过河 → b 返回
耗时：a + 2*b + d
方案二 ：最快一人（a）带最慢（d）过河 → a 返回 → a 带次慢（c）过河 → a 返回
耗时：2*a + c + d

取较小值累加，然后去掉最慢两人，重复直到剩余人数 ≤ 3。

剩余人数处理（下标从1开始）：

1 人：t[1]
2 人：t[2]
3 人：t[1] + t[2] + t[3]

复杂度：排序 O(N log N)，模拟 O(N)，可通过 N=1e5。

代码实现

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=100010;//最大人数
int t[M];//存储过河时间

int main() {
    int n;
    cin>>n;//读入人数
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>t[i];//读入每个人的时间
    sort(t+1,t+n+1);//升序排序

    long long ans=0;//总时间
    while(n>3){//当人数大于3时，每次送走最慢两人
        int s1=t[2]+t[1]+t[n]+t[2];//方案1: a,b去; a回; c,d去; b回
        int s2=t[n]+t[1]+t[n-1]+t[1];//方案2: a,d去; a回; a,c去; a回
        ans+=min(s1,s2);//取较小值累加
        n-=2;//最慢两人已过河
    }
    //处理剩余≤3人
    if(n==1) ans+=t[1];//只剩1人
    else if(n==2) ans+=t[2];//剩2人
    else ans+=t[1]+t[2]+t[3];//剩3人

    cout<<ans<<endl;//输出结果
    return 0;
}

功能分析

输入处理 ：使用静态数组 t[M] 存储时间，下标从1开始，先读取人数 N，再读取 N 个时间值存入 t[1] 到 t[N]。
排序：对 t[1] 到 t[N] 升序排序，使 t[1] 为最快，t[N] 为最慢。
贪心模拟 ：当 N>3 时，循环计算两种经典方案的耗时（方案1：t[2]+t[1]+t[N]+t[2]，方案2：t[N]+t[1]+t[N-1]+t[1]），选择较小的累加到答案中，然后 N 减少 2（去掉最慢两人）。
边界处理：剩余 1、2 或 3 人时，直接按最优方式计算时间并累加。
输出：打印最小总时间（使用 long long 防止溢出）。

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"##########  一站式掌握信奥赛知识!  ##########";
	cout<<"#############  冲刺信奥赛拿奖!  #############";
	cout<<"######  课程购买后永久学习，不受限制!   ######";
	return 0;
}

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
	cout<<"    成就更好的自己！       ";
	cout<<"  csp信奥赛一等奖属于你!   ";
	return 0;
}