每日一题(2026.4.29) 猫猫与数学

题目

AC 代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

int main() 
{
    ll a, b;
    cin>>a>>b;

    ll d=abs(a-b);
    if(d==0)
    {
        if(a==1)
          cout<<1<<endl;
        else
          cout<<0<<endl;
        return 0;
    }

    if(d==1)cout<<-1<<endl;
    else
    {
        vector<ll> v;
        for(ll i=2;i*i<=d;i++)
        {
            if(d%i==0)
            {
                v.push_back(i);
                while(d%i==0)
                {
                    d=d/i;
                }
            }
        }
        if(d>1)v.push_back(d);

        ll ans = 1e18;
        for(auto& x:v)
        {
            ans=min(ans,(x-a%x)%x);
        }
        cout<<ans<<endl;
    }

    return 0;
}

个人见解

由题意，假设有一数字 ggg，令 A=a+c，B=b+cA = a + c，B = b + cA=a+c，B=b+c，我们希望得到 g∣Ag | Ag∣A 和 g∣Bg | Bg∣B ，即 ggg 整除 AAA 和 ggg 整除 BBB，因此有：
A=k1×g，B=k2×g↓∣A−B∣=(k1−k2)×g↓∣a−b∣=(k1−k2)×g A = k_1×g，B = k_2×g \\ ↓ \\ |A - B| = (k_1 - k_2)×g \\ ↓ \\ |a - b| = (k_1 - k_2)×g A=k1×g，B=k2×g↓∣A−B∣=(k1−k2)×g↓∣a−b∣=(k1−k2)×g

因此寻找因子的范围可以从无穷缩小为 $2，∣a-b∣$ $2，\|a - b\|$ $2，∣a-b∣$ ，并且题目有说当 gcdgcdgcd 为 111 时无解，因此可以通过上述公式推导出只有 ∣a−b∣=1|a - b| = 1∣a−b∣=1 的时候才会无解。

cpp 复制代码

if(d==0)
{
    if(a==1)
      cout<<1<<endl;
    else
      cout<<0<<endl;
    return 0;
}

这里的判断需要小心 a=b=1a=b=1a=b=1 的情况，此时只需要 +1+1+1 即可让 gcdgcdgcd 变成 222。

cpp 复制代码

if(d==1)cout<<-1<<endl;
else
{
    vector<ll> v;
    for(ll i=2;i*i<=d;i++)
    {
        if(d%i==0)
        {
            v.push_back(i);
            while(d%i==0)
            {
                d=d/i;
            }
        }
    }
    if(d>1)v.push_back(d);

    ll ans = 1e18;
    for(auto& x:v)
    {
        ans=min(ans,(x-a%x)%x);
    }
    cout<<ans<<endl;
}

这是代码的核心部分，如果 d==1d==1d==1 当然直接输出 −1-1−1。

否则，需要循环寻找 ddd 的因子，与普通寻找因数不同的是，本题只需要存储质因子，因为我们只想找到最小的 a+ca+ca+c 和 b+cb+cb+c。

cpp 复制代码

if(d%i==0)
{
    v.push_back(i);
    while(d%i==0)
    {
        d=d/i;
    }
}

因此，只要 d%i==0d \% i==0d%i==0 就直接推入 vector 容器，然后利用 whilewhilewhile 循环剔除所有因子 iii ，这也是在保证往后出现的 iii 一定是质因子的原因。

cpp 复制代码

if(d>1)v.push_back(d);

因为 ddd 的值在变化，可能会出现 d>1d>1d>1 但是 i∗i>di*i>di∗i>d 的情况，如果不加这行会遗漏关键的一个质因子！！！

cpp 复制代码

ll ans = 1e18;
for(auto& x:v)
{
    ans=min(ans,(x-a%x)%x);
}

这里就是在寻找最小 ccc 的过程了，注意这里的表达式 (x−a%x)%x(x-a\%x)\%x(x−a%x)%x。
a%xa\%xa%x 表示aaa 大出 xxx 的数值，而 x−a%xx-a\%xx−a%x 表示距离凑出下一个 xxx 的倍数需要补齐的数字，那么为什么要再对 xxx 取模呢？举个例子，如果a==x，a%x==0a == x，a\%x==0a==x，a%x==0 ，此时 x−a%x==xx-a\%x == xx−a%x==x，但真实情况是由于 aaa 可以整除 xxx，所以xxx 此时不需要补齐任何数字，因此最后再对 (x−a%x)(x-a\%x)(x−a%x) 进行取模，即 (x−a%x)%x(x-a\%x)\%x(x−a%x)%x 。