20260429 - 技术栈

A - 灾难

题意：给定一个 DAG，求每个点能支配的点的数量。

n≤65534n \le 65534n≤65534，输入的文件大小不超过 1 MB

求一个点支配别人的数量很难求，考虑求出每个点会被那些点所支配。

对于一个点 iii 而言，连向它的点记为 pi,jp_{i,j}pi,j，那么能支配 iii 的点必须在 LCAj=1∣pi∣pi,jLCA_{j=1}^{|p_i|}p_{i,j}LCAj=1∣pi∣pi,j 到根节点的点上。（这里的 LCA 并不是正常 LCA，我感觉而是类似于另外一颗由这个 DAG 所构成的树的 LCA）.

具体做法如下：对于每个点，求出连向它的点在另一颗树上的 LCA，最后在把自己与那个 LCA 在另一棵树上连接。最后在用 dfs 求出子树大小就可以了。

B - 字符合并

题意：有一个长度为 nnn 的 01 串，你可以每次将相邻的 kkk 个字符合并，获得一定价值。

给出所有长度为 kkk 的串被合并所获得的价值以及得到的新字符，问把原串缩完能获得的最大价值。

n≤300,k≤8n \le 300,k\le8n≤300,k≤8

注意到 n,kn,kn,k 都很小，对于一段区间 $l,r$ $l,r$ $l,r$ 而言，由于 wi>0w_i>0wi>0，所以区间 $l,r$ $l,r$ $l,r$ 最终一定会变成 (r−l+1)mod (k−1)(r-l+1) \mod (k-1)(r−l+1)mod(k−1) 的 01 串（特别的，为 mod 后为 000 实际上是 k−1k-1k−1）。

考虑区间 dp，设 fl,r,xf_{l,r,x}fl,r,x 表示对于区间 $l,r$ $l,r$ $l,r$ ，最终变成 xxx 这个状态的方案数，转移考虑枚举分界点最后一位。

看起来可能会超时，但实际上很多无效状态和不可能的情况可以剪枝。

C - 异或

题意：

有一颗以 111 为根节点的由 nnn 个节点组成的树，节点从 111 至 nnn 编号。树上每个节点上都有一个权值 viv_ivi。现在有 qqq 次操作，操作如下：

1 x z1~x~z1 x z：查询节点 xxx 的子树中的节点权值与 zzz 异或结果的最大值。
2 x y z2~x~y~z2 x y z：查询节点 xxx 到节点 yyy 的简单路径上的节点的权值与 zzz 异或结果最大值。

n,q≤105,vi,z≤230n,q \le 10^5,v_i,z \le 2^{30}n,q≤105,vi,z≤230

看到这两个查询就非常像树剖啊。

而对于异或，很容易想到 tire。

两者结合，用树剖的线段树套 trie 树。

时间复杂度 O(nlog⁡2nlog⁡V)O(n \log^2 n \log V)O(nlog2nlogV)

但这样可能会 TLE，毕竟 8 亿再加上线段树。

注意到不需要修改，可以考虑用倍增去优化，直接把线段树改成 st 表维护，查询 O(log⁡V)O(\log V)O(logV)。

总时间复杂度 O(nlog⁡nlog⁡V)O(n\log n \log V)O(nlognlogV)

赛后发现用可持久化线段树其实可以做到 O(nlog⁡V)O(n \log V)O(nlogV)，其实就是不树剖了，直接就在 dfs 的时候处理，两种情况分别考虑。第一种可以继承上一个 dfn 的状态，第二种则是继承父节点的状态。