用rand7()函数构造函数rand10()

题目要求：用一个已知均匀随机的rand7()（生成1~7等概率）来构造rand10()（生成1~10等概率）。

思路：题目要求用均匀分布生成另一个均匀分布。

1.前提：rand7()可以均匀生成1，2，3，4，5，6，7，目标是rand10()均匀生成1 ~ 10。

2.不能用简单的（rand7() * 10 / 7）之类的方法，因为它们不是均匀的（会偏向某些数）。

举例：

rand7()取值：1，2，3，4，5，6，7

乘以10：10，20，30，40，50，60，70

除以7：1，2，4，5，7，8，10

目标应该是1~10每个数的概率都为1/10，结果1，2，4，5，7，8，10的概率为1/7，3，6，9的概率为0，不合题意。

3.拒绝采样法：利用（rand7() - 1） * 7 + rand7()可以生成1 ~ 49之间的等概率随机数。

证明：

（1）令a = rand7() - 1，取值：0，1，2，3，4，5，6（均匀）。

（2）令b = rand7()，取值：1，2，3，4，5，6，7（均匀）。

（3）公式变成了a * 7 + b。这实际上是在构造一个两位的7进制数。

（4）a * 7只能取0，7，14，21，28，35，42。

（5）a * 7 +rand7()，其实就是0，7，14，21，28，35，42分别加上了1~7之间的数，正好组成了1~49的所有整数。

当a固定时：

a = 0：0 * 7 + b = 1 ~ 7。

a = 1：1 * 7 + b = 8 ~ 14。

a = 2： 2 * 7 + b = 15 ~ 21。

a = 3： 3 * 7 + b = 22 ~ 28。

a = 4： 4 * 7 + b = 29 ~ 35。

a = 5： 5 * 7 + b = 36 ~ 42。

a = 6： 6 * 7 + b = 43 ~ 49。

完美覆盖了1 ~ 49的所有整数。

之所以a * 7 + b这样构造是均匀的，是因为a和b是独立的随机变量，也就是两次独立的rand7()调用。概率计算：P(得到某个特定数 x) = P(a = 某值) × P(b = 某值)。实际上是在做笛卡尔积。通过 (a'-1)*7 + b 映射到 1~49，这是一个双射（一一对应），所以分布保持均匀。

举例：

复制代码

P(得到23) = P(a=3) × P(b=2) = (1/7) × (1/7) = 1/49

任何1 ~ 49的数都能唯一表示为a * 7 + b的形式，所以每个数的概率都是1/49。

4.（rand7() - 1） * 7 + rand7()生成等概率随机数的步骤：从1 ~ 49中只取1 ~ 40的数字映射到1 ~ 10，遇到41 ~ 49则重试。这是因为转换为rand10()的话，最大概率是将1 ~ 49分成10组，每组4个数（但49不是10的倍数），因此必须让num落在1 ~ 40范围内才有用，否则丢弃重新生成，保证1 ~ 10均匀。

附代码：

java 复制代码

class Solution {
    private Random random = new Random();

    // 假设提供的 rand7() 是均匀的
    private int rand7() {
        // random.nextInt（7）是生成一个0到6之间的随机整数（包含0，不包含7）
        //random.nextInt(7) + 1就是生成一个1到7之间的随机整数
        return random.nextInt(7) + 1;
    }

    public int rand10() {
        while (true) {
            int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7(); // 1 ~ 49 均匀
            if (num <= 40) {
                // 将1 ~ 40的数映射到1 ~ 10
                // 如果是num % 10，那么1 % 10 + 1 = 2，映射错误，所以是(num - 1) % 10
                // 要求返回1 ~ 10，而不是0 ~ 9，所以应该 + 1，不加1的映射范围是0 ~ 9
                return (num - 1) % 10 + 1;
                // 如果 num = 41~49，则丢弃，重新生成
            }
        }
    }
}

ACM模式：

java 复制代码

import java.util.Random;
import java.util.Scanner;

class Solution {
    private Random random = new Random();

    // 假设提供的 rand7() 是均匀的
    private int rand7() {
        // random.nextInt（7）是生成一个0到6之间的随机整数（包含0，不包含7）
        //random.nextInt(7) + 1就是生成一个1到7之间的随机整数
        return random.nextInt(7) + 1;
    }

    public int rand10() {
        while (true) {
            int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7(); // 1 ~ 49 均匀
            if (num <= 40) {
                // 将1 ~ 40的数映射到1 ~ 10
                // 如果是num % 10，那么1 % 10 + 1 = 2，映射错误，所以是(num - 1) % 10
                // 要求返回1 ~ 10，而不是0 ~ 9，所以应该 + 1，不加1的映射范围是0 ~ 9
                return (num - 1) % 10 + 1;
                // 如果 num = 41~49，则丢弃，重新生成
            }
        }
    }
}

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        int n = scanner.nextInt(); // 需要生成多少个随机数

        Solution solution = new Solution();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            System.out.print(solution.rand10());
            if(i < n - 1){
                System.out.print(" ");
            }
        }
        System.out.println();
        scanner.close();
    }
}