概率论：二维随机变量、随机变量组合函数的分布求解

在一维随机变量中，我们是用一重积分（变上限积分）来表示他的分布函数的，我们可以理解成一根绳子沿着X轴方向从-∞到+∞的延伸，其中分布函数就是线密度，于是我们沿着x轴这个路径积分就得到了绳子的总质量1。

而在二重积分中，概率密度函数从线密度升维成了面密度，即沿着X、Y轴方向都有概率的分布，于是我们只需要求出整个面的质量即联合分布函数。用数学表达即为二重积分。

（2）联合分布函数的性质

联合分布函数有以下几条性质，基本都和之前一维随机变量的性质是完全相同的。

1.非负性与有界性对任意实数x、y，恒有：

2.单调不减性，扩展为对X、Y分别的单调不减性质：

3.规范性（二维点落在无穷远的概率为0，落在平面上的概率为1）：

4.右连续性（台阶性质）：

左连续性没写，是因为在离散型的分界点处不成立。

（3）二维离散型随机变量

（4）二维连续型随机变量

二、边缘分布

变缘分布描述的是二维随机变量中单个变量自身的分布规律，相当于把另外一个变量的所有可能值合并起来，看如何对该随机变量的概率产生影响。在离散型随机变量中即为分布列表格；而在连续型随机变量中即为分布函数。

（1）边缘分布的定义

关于X的边缘分布函数就是令Y取值到他的所有情况，然后得到的关于X的分布概率。

下图是我们学习二重积分时候的理解：

所以在现在边缘分布中，仍然可以如上理解。对X求边缘分布函数即定X穿Y，先把X当做一个常数求出每一根筷子的重量，最后将筷子的重量坍塌汇聚到一点，即变为了线密度。从而化为一维积分求解。

关于Y的边缘分布定义也是类似的，只不过换为了定Y穿X而已。

（2）离散型的边缘分布列

离散型的边缘密度函数仍然是把一张纸沿X方向或者Y方向压缩成线密度，只不过由于他是离散孤立的点，所以即使压缩后仍然是孤立的密度点，我们用一个表格来承载他们。

（3）连续型的边缘密度函数

基于刚刚的维度坍塌的角度分析，我们可以分别求出X型、Y型的边缘密度函数。

它其实就是把二重积分的两步积分拆分出来的一部分，成为连续型的边缘密度函数。
连续型的边缘概率密度同样是把平面沿一个方向压缩成线密度得到的，不过由于他的线密度更加好求，方便用一个函数表示，所以往往比离散型的更加优美。

（4）连续型、离散型边缘分布函数与联合分布函数的关系

我们前面说边缘密度=线密度（面密度压缩成线密度得到的），但他仅仅是密度函数的关联啊，分布函数可是质量。那么在质量之间又有什么关系呢？

联合分布函数是一个矩形的质量，会随着X、Y的变化而变化。但是边缘分布函数，是一个线的质量，只有一个方向上的变化。（即另外一个方向认为是从-∞到+∞的所有集合）

如果让他们二者的面积都是同一个范围的话，则边缘分布函数的总积分值=联合分布函数的总积分值。（因为压缩、解压缩后的范围是相同的）

三、条件分布

所谓条件分布，其实就是套用了条件概率的公式而已。只不过这里把同时发生的概率升级成了联合密度；把单独一个发生的概率变成了边缘密度函数。

而条件分布真正的作用就是缩小样本空间。

（1）离散型的条件分布列

离散型的条件分布列求解，本质上也得从分布表格中观察得到，直接带入上述公式即可。

（2）连续型的条件密度函数

连续型的条件密度说白了就是先用之前给出的边缘密度公式得到分母，然后再由题目直接给出的共同发生的概率（联合密度）函数套入分子即可。

四、随机变量的独立性

我们前面说二维随机变量可以看做一个平面的质量求解，而如果这两个随机变量是独立的，则在X方向和Y方向上的线密度是独立、无关的（即X方向上的线密度仅仅与X相关；Y方向上的线密度仅仅与Y相关，不包含对方的变量表达式）。他们共同构成了面密度。

独立性的判断方式有两种：1.判断分布函数的独立性；2.判断边缘密度的独立性。他们本质都是一样的！

对于离散型随机变量，X、Y独立的条件是：对于所有的i、j都有：

通常会有一个特殊结论：离散型是表格表示的概率，于是只要独立，则任意两行、或者两列都是成比例的，可以用来快速填写表格等题目。
而对于连续型随机变量，X、Y独立的条件是任意一个点上都满足联合密度=边缘密度的乘积。

这里将分布函数降级为了密度函数，是因为连续型分布中通常不说边缘分布函数，只轮边缘密度函数。

五、随机变量组合函数的分布求解

在题目中，往往会直接给我们一个随机变量的分布函数，然后让我们去求解另外一个由该随机变量构成的其他随机变量的分布函数、概率密度函数。

离散型的组合函数比较好求解，先求取值再求概率即可。一般情况下都可以直接从表格中看出结果。而连续型的较为复杂，于是我们下面只分析连续型的求解方式。

（1）一维组合函数的分布函数求解

简单来说就是：

先将Y事件≤y实数点的概率，通过Y=2X+8这个映射转换等式转化成为X事件≤y实数点的概率。注意这其中的y实数点要当做一个常量来看待。

（2）二维组合函数的分布函数求解

二维组合函数的分布函数求解套路与一维几乎类似，只不过需要注意一下二维是面积分（二重积分），所以需要考虑积分区域D和被积函数的交集范围。