【哈密顿力学】深入解读航天器交会最优控制中的Hamilton函数

文章目录

深入解读航天器交会最优控制中的Hamilton函数
- 引言
- 一、什么是Hamilton函数？
- - [1.1 标准定义](#1.1 标准定义)
  - [1.2 文字解释](#1.2 文字解释)
  - [1.3 通俗理解](#1.3 通俗理解)
- 二、航天器交会问题的Hamilton函数
- - [2.1 完整表达式](#2.1 完整表达式)
  - [2.2 识别各组成部分](#2.2 识别各组成部分)
  - [2.4 各部分物理含义](#2.4 各部分物理含义)
- 三、Hamilton函数的核心作用
- - [3.1 推导最优控制律](#3.1 推导最优控制律)
  - - [最优推力方向 α ∗ \alpha^* α∗](#最优推力方向 α ∗ \alpha^* α∗)
    - [最优推力大小 u ∗ u^* u∗](#最优推力大小 u ∗ u^* u∗)
  - [3.2 协态变量微分方程](#3.2 协态变量微分方程)
  - [3.3 形成两点边值问题](#3.3 形成两点边值问题)
- 四、常见误区澄清
- - [误区1：所有 Hamilton 函数都有显式的 L L L](#误区1：所有 Hamilton 函数都有显式的 L L L)
  - 误区2：协态变量是常数
  - 误区3：标准形式中的符号可以随意正负
- 五、整体框架图
- 六、总结
- 七、一句话总结
- 参考文献

深入解读航天器交会最优控制中的Hamilton函数

引言

在航天器协同交会问题中，如何用最少的燃料实现两个航天器的精确对接，是一个典型的最优控制问题。而Hamilton函数（哈密顿函数）则是破解这一问题的核心数学工具。今天，我们就来深入解读这个看似复杂实则逻辑清晰的Hamilton函数，系统讲解其标准定义、物理含义以及在实际问题中的应用。

一、什么是Hamilton函数？

1.1 标准定义

在最优控制理论中，Hamilton函数是一个将动力学系统 、性能指标 和约束条件统一起来的数学表达式。

考虑如下最优控制问题：

状态方程 （描述系统如何演化）：
x ˙ ( t ) = f ( x ( t ) , u ( t ) , t ) \dot{x}(t) = f(x(t), u(t), t) x˙(t)=f(x(t),u(t),t)
性能指标 （要最小化的代价函数）：
J = Φ ( x ( t f ) ) + ∫ t 0 t f L ( x ( t ) , u ( t ) , t ) d t J = \Phi(x(t_f)) + \int_{t_0}^{t_f} L(x(t), u(t), t) \, dt J=Φ(x(tf))+∫t0tfL(x(t),u(t),t)dt

其中 Φ ( x ( t f ) ) \Phi(x(t_f)) Φ(x(tf)) 是终端代价（如最终位置误差）， ∫ L d t \int L \, dt ∫Ldt 是过程代价（如累计燃料消耗）。

则 Hamilton函数 的标准定义为：

H ( x , u , λ , t ) = L ( x , u , t ) + λ T ( t ) f ( x , u , t ) \boxed{H(x, u, \lambda, t) = L(x, u, t) + \lambda^T(t) \, f(x, u, t)} H(x,u,λ,t)=L(x,u,t)+λT(t)f(x,u,t)

各符号含义：

x ( t ) x(t) x(t)：状态变量（位置、速度、质量等）
u ( t ) u(t) u(t)：控制变量（推力比、推力方向）
λ ( t ) \lambda(t) λ(t)：协态变量（Costate，也叫伴随变量，相当于拉格朗日乘子）
f ( x , u , t ) f(x,u,t) f(x,u,t)：状态方程右边（系统动力学）
L ( x , u , t ) L(x,u,t) L(x,u,t)：运行代价（积分代价的被积函数，如燃料消耗率）

1.2 文字解释

Hamilton 函数 = 运行代价 L L L + 协态变量 λ T \lambda^T λT 乘以状态方程 f f f

第一部分 L L L：直接来自代价函数，代表即时成本（如燃料燃烧的瞬时速率）
第二部分 λ T f \lambda^T f λTf：把动力学约束"加入"最优问题中，代表状态演化对未来代价的影响

通过庞特里亚金极值原理，对控制量 u u u 求 Hamilton 函数的极值（最小值），即可得到最优控制律。

1.3 通俗理解

可以把 Hamilton 函数想象成整个系统的"能量账本"：

第一项 L L L：现在花了多少钱（当前燃料消耗）
第二项 λ T f \lambda^T f λTf：未来还要花多少钱的预估值（通过协态变量将未来代价折算到现在）

最优控制就是在每一时刻，让这个"总账"最小化。

二、航天器交会问题的Hamilton函数

2.1 完整表达式

对于航天器协同交会问题，文献[1]中的 Hamilton 函数（式7）为：

H = λ v T ( − μ e r j 3 r j − ζ r j 5 A 1 r j + 15 ζ z j 2 2 r j 7 r + F j u j m j α j ) + λ v T v j + λ m ( − u j F j I s p g 0 ) + u j F j I s p g 0 \begin{aligned} H = &\lambda_v^T \left( -\frac{\mu_e}{r_j^3} r_j - \frac{\zeta}{r_j^5} A_1 r_j + \frac{15\zeta z_j^2}{2r_j^7} r + \frac{F_j u_j}{m_j} \alpha_j \right) \\ &+ \lambda_v^T v_j + \lambda_m \left( -\frac{u_j F_j}{I_{sp} g_0} \right) + \frac{u_j F_j}{I_{sp} g_0} \end{aligned} H=λvT(−rj3μerj−rj5ζA1rj+2rj715ζzj2r+mjFjujαj)+λvTvj+λm(−Ispg0ujFj)+Ispg0ujFj

乍看很复杂，但我们可以将其分解，并与标准形式 H = L + λ T f H = L + \lambda^T f H=L+λTf 逐一对应。

2.2 识别各组成部分

首先，明确航天器交会问题的：

状态变量 ：
x = [ r j v j m j ] 其中 r j = [ x , y , z ] T , v j = [ v x , v y , v z ] T x = \begin{bmatrix} r_j \\ v_j \\ m_j \end{bmatrix} \quad \text{其中} \quad r_j = [x, y, z]^T, \quad v_j = [v_x, v_y, v_z]^T x= rjvjmj 其中rj=[x,y,z]T,vj=[vx,vy,vz]T

控制变量：

u j ∈ [ 0 , 1 ] u_j \in [0,1] uj∈[0,1]：推力比（发动机开多大）
α j \alpha_j αj：推力方向单位矢量（往哪个方向推）

状态方程 f f f （系统动力学）：
r ˙ j = v j v ˙ j = − μ e r j 3 r j ⏟ 中心引力 − ζ r j 5 A 1 r j + 15 ζ z j 2 2 r j 7 r ⏟ J₂非球形摄动 + F j u j m j α j ⏟ 推力加速度 m ˙ j = − u j F j I s p g 0 ( 燃料消耗，质量减少 ) \begin{aligned} \dot{r}j &= v_j \\ \dot{v}j &= \underbrace{-\frac{\mu_e}{r_j^3} r_j}{\text{中心引力}} \underbrace{-\frac{\zeta}{r_j^5} A_1 r_j + \frac{15\zeta z_j^2}{2r_j^7} r}{\text{J₂非球形摄动}} + \underbrace{\frac{F_j u_j}{m_j} \alpha_j}_{\text{推力加速度}} \\ \dot{m}j &= -\frac{u_j F_j}{I{sp} g_0} \quad (\text{燃料消耗，质量减少}) \end{aligned} r˙jv˙jm˙j=vj=中心引力 −rj3μerjJ₂非球形摄动 −rj5ζA1rj+2rj715ζzj2r+推力加速度 mjFjujαj=−Ispg0ujFj(燃料消耗，质量减少)

运行代价 L L L （来自性能指标 J = ∑ F j I s p g 0 ∫ u j d t J = \sum \frac{F_j}{I_{sp}g_0} \int u_j dt J=∑Ispg0Fj∫ujdt）：
L = u j F j I s p g 0 L = \frac{u_j F_j}{I_{sp} g_0} L=Ispg0ujFj

这就是单位时间内消耗的燃料质量。

文献[1]中的 Hamilton 函数完全符合标准形式：
H = u j F j I s p g 0 ⏟ L + λ r T v j + λ v T v ˙ j + λ m m ˙ j ⏟ λ T f H = \underbrace{\frac{u_j F_j}{I_{sp} g_0}}_{L} + \underbrace{\lambda_r^T v_j + \lambda_v^T \dot{v}_j + \lambda_m \dot{m}j}{\lambda^T f} H=L Ispg0ujFj+λTf λrTvj+λvTv˙j+λmm˙j

2.4 各部分物理含义

第一部分：加速度项

λ v T ( − μ e r j 3 r j − ζ r j 5 A 1 r j + 15 ζ z j 2 2 r j 7 r + F j u j m j α j ) \lambda_v^T \left( -\frac{\mu_e}{r_j^3} r_j - \frac{\zeta}{r_j^5} A_1 r_j + \frac{15\zeta z_j^2}{2r_j^7} r + \frac{F_j u_j}{m_j} \alpha_j \right) λvT(−rj3μerj−rj5ζA1rj+2rj715ζzj2r+mjFjujαj)

中心引力 ： − μ e / r j 3 ⋅ r j -\mu_e/r_j^3 \cdot r_j −μe/rj3⋅rj（地球主体引力，开普勒运动）
J₂非球形摄动 ： − ζ / r j 5 ⋅ A 1 r j + 15 ζ z j 2 / ( 2 r j 7 ) ⋅ r -\zeta/r_j^5 \cdot A_1 r_j + 15\zeta z_j^2/(2r_j^7) \cdot r −ζ/rj5⋅A1rj+15ζzj2/(2rj7)⋅r（地球扁平效应， J 2 J_2 J2是带谐项系数）
推力加速度 ： F j u j / m j ⋅ α j F_j u_j/m_j \cdot \alpha_j Fjuj/mj⋅αj（发动机产生的加速度）
系数矩阵 ： A 1 = diag ( 1.5 , 1.5 , 4.5 ) A_1 = \text{diag}(1.5, 1.5, 4.5) A1=diag(1.5,1.5,4.5)， ζ = μ e J 2 R e 2 \zeta = \mu_e J_2 R_e^2 ζ=μeJ2Re2

这里 λ v T v ˙ \lambda_v^T \dot{v} λvTv˙ 体现了速度变化的代价。

第二部分：速度项

λ v T v j \lambda_v^T v_j λvTvj

对应状态方程 r ˙ = v \dot{r} = v r˙=v，连接位置和速度。注意此项系数应为 λ r T \lambda_r^T λrT（位置协态变量），文献[1]中写为 λ v T \lambda_v^T λvT 可能是标记习惯或笔误，但不影响本质理解。

第三部分：质量变化项

λ m ( − u j F j I s p g 0 ) \lambda_m \left( -\frac{u_j F_j}{I_{sp} g_0} \right) λm(−Ispg0ujFj)

对应质量消耗方程， λ m \lambda_m λm 是质量协态变量，表示"单位质量变化对总体代价的灵敏度"。

第四部分：直接代价项

u j F j I s p g 0 \frac{u_j F_j}{I_{sp} g_0} Ispg0ujFj

这就是运行代价 L L L，表示瞬时燃料消耗率。

三、Hamilton函数的核心作用

3.1 推导最优控制律

通过极值原理，对控制变量求 Hamilton 函数的极值，可以得到最优控制律。

最优推力方向 α ∗ \alpha^* α∗

对方向 α \alpha α（满足 ∥ α ∥ = 1 \|\alpha\|=1 ∥α∥=1）极值化：
α j ∗ = − λ v j ∥ λ v j ∥ \alpha_j^* = -\frac{\lambda_{vj}}{\|\lambda_{vj}\|} αj∗=−∥λvj∥λvj
物理意义：推力应沿速度协态变量的反方向，即"敏感度最大"的方向。

最优推力大小 u ∗ u^* u∗

定义开关函数 ：
ρ j = ∂ H ∂ u j = 1 − λ m j − I s p g 0 m j ∥ λ v j ∥ \rho_j = \frac{\partial H}{\partial u_j} = 1 - \lambda_{mj} - \frac{I_{sp} g_0}{m_j} \|\lambda_{vj}\| ρj=∂uj∂H=1−λmj−mjIspg0∥λvj∥

则最优控制为 bang-bang 控制 ：
u j ∗ = { 0 , ρ j > 0 ( 关机 ) 1 , ρ j < 0 ( 满推力 ) ∈ ( 0 , 1 ) , ρ j = 0 ( 奇异弧，一般极少出现 ) u_j^* = \begin{cases} 0, & \rho_j > 0 \quad (\text{关机}) \\ 1, & \rho_j < 0 \quad (\text{满推力}) \\ \in (0,1), & \rho_j = 0 \quad (\text{奇异弧，一般极少出现}) \end{cases} uj∗=⎩ ⎨ ⎧0,1,∈(0,1),ρj>0(关机)ρj<0(满推力)ρj=0(奇异弧，一般极少出现)

通俗理解：

ρ j > 0 \rho_j > 0 ρj>0：边际成本为正 → 推力越小越好 → 关机
ρ j < 0 \rho_j < 0 ρj<0：边际成本为负 → 推力越大越好 → 满推力
ρ j = 0 \rho_j = 0 ρj=0：奇异情况，推力可连续调节

3.2 协态变量微分方程

Hamilton函数对状态变量求偏导，得到协态变量的演化方程（正则方程）：

λ ˙ r j = − ∂ H ∂ r j , λ ˙ v j = − ∂ H ∂ v j , λ ˙ m j = − ∂ H ∂ m j \dot{\lambda}{rj} = -\frac{\partial H}{\partial r_j}, \quad \dot{\lambda}{vj} = -\frac{\partial H}{\partial v_j}, \quad \dot{\lambda}_{mj} = -\frac{\partial H}{\partial m_j} λ˙rj=−∂rj∂H,λ˙vj=−∂vj∂H,λ˙mj=−∂mj∂H

文献[1]中的式(12)给出了具体表达式：
λ ˙ v j = ( μ e r j 3 + ζ r j 5 A 1 − 15 ζ z j 2 2 r j 7 I ) λ v j − 15 ζ r j 7 ( λ v j T r j ) A 2 z j \dot{\lambda}{vj} = \left( \frac{\mu_e}{r_j^3} + \frac{\zeta}{r_j^5} A_1 - \frac{15\zeta z_j^2}{2r_j^7} I \right) \lambda{vj} - \frac{15\zeta}{r_j^7} (\lambda_{vj}^T r_j) A_2 z_j λ˙vj=(rj3μe+rj5ζA1−2rj715ζzj2I)λvj−rj715ζ(λvjTrj)A2zj
λ ˙ m j = − u j F j m j 2 ∥ λ v j ∥ \dot{\lambda}{mj} = -\frac{u_j F_j}{m_j^2} \|\lambda{vj}\| λ˙mj=−mj2ujFj∥λvj∥

（式中 A 2 = [ 0 , 0 , 1 ] T A_2 = [0,0,1]^T A2=[0,0,1]T）

物理意义：协态变量是时间函数，它们的演化规律由系统动力学决定，相当于"最优未来代价"的传播方程。

3.3 形成两点边值问题

利用 Hamilton 函数，原问题转化为：

状态方程： x ˙ = ∂ H / ∂ λ \dot{x} = \partial H / \partial \lambda x˙=∂H/∂λ （从 t 0 t_0 t0 向前积分）
协态方程： λ ˙ = − ∂ H / ∂ x \dot{\lambda} = -\partial H / \partial x λ˙=−∂H/∂x （从 t f t_f tf 向后积分）
边界条件： ψ 0 = 0 \psi_0 = 0 ψ0=0（初始状态固定）， ψ f = 0 \psi_f = 0 ψf=0（终端交会条件）

这构成了一个两点边值问题，通常用打靶法或配点法数值求解。

四、常见误区澄清

误区1：所有 Hamilton 函数都有显式的 L L L

❌ 错误理解

✅ 正确：如果性能指标只由终端代价 Φ \Phi Φ 决定（没有积分项 L L L），那么 H = λ T f H = \lambda^T f H=λTf，没有显式的运行代价项。

误区2：协态变量是常数

❌ 错误理解

✅ 正确：协态变量 λ ( t ) \lambda(t) λ(t) 是时间函数，由微分方程 λ ˙ = − ∂ H / ∂ x \dot{\lambda} = -\partial H / \partial x λ˙=−∂H/∂x 决定，一般随时间是变化的。

误区3：标准形式中的符号可以随意正负

❌ 错误理解

✅ 正确：不同教材有不同定义，有的用 H = λ T f − L H = \lambda^T f - L H=λTf−L（对应最大值原理），有的用 H = L + λ T f H = L + \lambda^T f H=L+λTf（对应最小值原理）。文献[1]采用 +L 形式，符合最小值原理的常规写法。

五、整体框架图

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┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                    最优控制问题                               │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│  状态方程:  ˙x = f(x,u,t)                                   │
│  性能指标:  J = Φ(x(t_f)) + ∫ L(x,u,t) dt                  │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
                              ↓
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│              Hamilton函数:  H = L + λ^T f                    │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
                              ↓
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│              庞特里亚金极值原理                               │
│  u* = argmin H   (最小值原理)                                │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
                              ↓
┌──────────────────────────┬──────────────────────────────────┐
│      最优控制律           │         协态方程                  │
│  α* = -λ_v/‖λ_v‖        │  ˙λ = -∂H/∂x                     │
│  u* = 0/1 (bang-bang)   │                                   │
└──────────────────────────┴──────────────────────────────────┘
                              ↓
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│              两点边值问题 (数值求解)                          │
│  状态变量: 正向积分  x(t₀) → x(t_f)                          │
│  协态变量: 反向积分 λ(t_f) ← λ(t₀)                           │
│  边界条件:  ψ₀ = 0, ψ_f = 0                                  │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘

六、总结

核心要点	说明
标准定义	H = L + λ T f H = L + \lambda^T f H=L+λTf，其中 L L L 是运行代价， f f f 是状态方程
物理含义	H H H = 现在花的钱 + 未来要花的钱的当前预估
文献[1]对应	式(7) = u F I s p g 0 ( L ) \frac{uF}{I_{sp}g_0}(L) Ispg0uF(L) + λ v T v ˙ + ⋯ \lambda_v^T \dot{v} + \cdots λvTv˙+⋯ 完全符合标准形式
最优推力	方向： α ∗ = − λ v / ∣ λ v ∣ \alpha^* = -\lambda_v / \|\lambda_v\| α∗=−λv/∣λv∣；大小：bang-bang 控制
协态变量	时间函数，由 λ ˙ = − ∂ H / ∂ x \dot{\lambda} = -\partial H/\partial x λ˙=−∂H/∂x 决定，不是常数
求解方法	转化为两点边值问题，数值打靶法求解

七、一句话总结

标准 Hamilton 函数 = 代价函数的被积函数 L L L + 协态变量与动力学方程 f f f 的内积

式 (7) 完全符合这一标准写法。Hamilton 函数是最优控制的"心脏"，它将物理规律和目标函数融为一体，通过极值原理导出最优控制律，最终转化为可数值求解的两点边值问题。

参考文献

1\] 关宇同, 高长生, 胡玉东, 等. 面向航天器远距离协同交会的超参数自主调优-同伦方法\[J\]. 宇航学报, 2026, 47(4): 1019-1031. \[2\] Meyer K R, Offin D C. Introduction to hamiltonian dynamical systems and the N-body problem: Vol. 90\[M\]. Cham: Springer International Publishing, 2017. \[3\] Jorba À, Masdemont J. Nonlinear dynamics in an extended neighbourhood of the translunar equilibrium point\[M\]//Simó C. Hamiltonian systems with three or more degrees of freedom. Dordrecht: Springer Netherlands, 1999: 430-434. \[4\] Ramacher U. Hamiltonian dynamics of neural networks\[M\]//Neurobionics. Elsevier, 1993: 61-85. \[5\] Lacomba E A, Llibre J. Hamiltonian systems and celestial mechanics\[M\]. WORLD SCIENTIFIC, 1993. *** ** * ** *** *希望这篇博客能帮助你全面理解 Hamilton 函数在航天器交会问题中的含义与应用。如有疑问，欢迎留言讨论！*