介绍一下背包DP（Python）

背包问题概述

背包问题是一类经典的动态规划问题，分为0-1背包 和完全背包两种主要类型。核心思想是通过状态转移方程逐步填充一个二维数组（或优化后的一维数组），记录不同容量下的最优解。

0-1背包问题

问题描述 ：给定物品的重量 weights 和价值 values，以及背包容量 capacity，每个物品只能选或不选，求最大价值。

动态规划解法

状态定义 ：
dp[i][j] 表示前 i 个物品在容量 j 下的最大价值。

状态转移方程：

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dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1])

（若 j >= weights[i-1]，否则直接继承 dp[i-1][j]）

Python代码：

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def knapsack_01(weights, values, capacity):
    n = len(weights)
    dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
    
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, capacity + 1):
            if j >= weights[i-1]:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1])
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
    return dp[n][capacity]

空间优化（一维数组）

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def knapsack_01_optimized(weights, values, capacity):
    dp = [0] * (capacity + 1)
    for i in range(len(weights)):
        for j in range(capacity, weights[i] - 1, -1):  # 逆向遍历
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i])
    return dp[capacity]

完全背包问题

问题描述：与0-1背包类似，但每个物品可以选无限次。

状态转移方程：

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dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-weights[i-1]] + values[i-1])

（注意与0-1背包的区别：第二项是 dp[i][...]）

Python代码（空间优化版）：

python 复制代码

def knapsack_unbounded(weights, values, capacity):
    dp = [0] * (capacity + 1)
    for i in range(len(weights)):
        for j in range(weights[i], capacity + 1):  # 正向遍历
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i])
    return dp[capacity]

关键区别

遍历顺序：
- 0-1背包：内层循环逆向遍历（避免重复计算）。
- 完全背包：内层循环正向遍历（允许重复选择）。
状态转移：
- 0-1背包依赖上一行 dp[i-1][...]。
- 完全背包依赖当前行 dp[i][...]。

应用场景

0-1背包：物品唯一性（如选/不选）。
完全背包：物品无限供应（如硬币找零问题）。