本文涉及知识点
预备知识
直径的圆周角等于90度。
因为是等边三角形，故两个红色角相等，两个黄色角相等。
三角形内角和是180度，故两个红色角+两个黄色角之和是180度。
即红色角+绿色角度之和是90度，即圆周角是90度。
第一节 二重积分的概念与性质
一，二重积分的概念
1,曲顶柱体的体积
设有一立体，它的底是xOy面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是z=f(x,y)，这儿f(x,y) ≥ 0 \ge 0 ≥0且在D上连续。这种立体叫做曲面柱体。
用一组曲线网格把D分成n个小闭合区域 Δ σ 1 , Δ σ 2 ⋯ Δ σ n \Delta \sigma_1,\Delta \sigma_2 \cdots \Delta \sigma_n Δσ1,Δσ2⋯Δσn,分别以这些小闭合区域的边界线为准则，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分成n个细曲顶柱体，当这些小闭合区域的直径很小时，由于f(x,y)连续，对同一个小闭合区域来说，f(x,y)变化很小，这使细曲顶柱体可近似看称平顶柱体。我们对任意 Δ σ i \Delta \sigma_i Δσi任取一点 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)，则曲面柱体体积为： ∑ i : 1 ∞ f ( x i , y i ) Δ σ i \sum_{i:1}^{\infty}f(x_i,y_i)\Delta \sigma_i i:1∑∞f(xi,yi)Δσi
V = lim λ = 0 ∑ i = 1 n f ( x i , y i ) Δ σ i V=\lim\limits_{\lambda=0}\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i)\Delta \sigma_i V=λ=0limi=1∑nf(xi,yi)Δσi
λ 是 Δ σ i \lambda是\Delta \sigma_i λ是Δσi的最大值。
2.平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xOy面上的闭合区域D，它在点(x,y)处的面密度为 υ ( x , y ) \upsilon(x,y) υ(x,y),这儿 υ ( x , y ) > 0 \upsilon(x,y)>0 υ(x,y)>0且在D上连续。现在要计算该薄片的质量m。
m = lim λ → 0 ∑ i = 1 n u ( x i , y i ) Δ σ i m=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nu(x_i,y_i)\Delta \sigma_i m=λ→0limi=1∑nu(xi,yi)Δσi
定义 设f(x,y)是有界区域D上的有界函数。将闭合区域D任意分成n个小闭合区域 Δ σ 1 , Δ σ 2 ⋯ Δ σ n \Delta \sigma_1,\Delta \sigma_2 \cdots \Delta \sigma_n Δσ1,Δσ2⋯Δσn。其中 Δ σ i \Delta \sigma_i Δσi表示第i个小闭合区域，也表示它的面积。在每个 Δ σ i \Delta \sigma_i Δσi上任取一点 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)作乘积 f ( x i , y i ) Δ σ i , i = 1 , 2 , ⋯ n f(x_i,y_i)\Delta\sigma_i,i=1,2,\cdots n f(xi,yi)Δσi,i=1,2,⋯n,并做和 ∑ i = 1 n f ( x i , y i ) Δ σ i \sum_{i=1}^nf(x_i,y_i)\Delta \sigma_i ∑i=1nf(xi,yi)Δσi。如果当各小闭合区域种直径的最大值 λ → 0 \lambda \to 0 λ→0时，这和的极限总存在，且于闭区域D的分法及点 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)取法无关，那么称此极限为函数f(x,y)在闭合区域D上的二重积分，记作 ∬ f ( x , y ) d σ \iint f(x,y)d\sigma ∬f(x,y)dσ即 ∬ D f ( x , y ) d σ = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( x i , y i ) Δ σ i \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i)\Delta \sigma_i D∬f(x,y)dσ=λ→0limi=1∑nf(xi,yi)Δσi
其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y) Δ σ \Delta \sigma Δσ叫做被积表达式， Δ σ \Delta \sigma Δσ叫做面积元素，x和y叫做积分变量，D叫做积分区域， ∑ i = 1 n f ( x i , y i ) Δ σ i \sum_{i=1}^nf(x_i,y_i)\Delta \sigma_i ∑i=1nf(xi,yi)Δσi叫做积分和。
二重积分的性质
性质1 设 α , β \alpha,\beta α,β是常数，则： ∬ D [ α f ( x , y ) + β g ( x , y ) ] d σ = α ∬ D f ( x , y ) Δ d σ + β ∬ D g ( x , y ) Δ σ \iint\limits_{D}[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]d\sigma=\alpha \iint\limits_D f(x,y)\Delta d\sigma +\beta \iint\limits_{D} g(x,y)\Delta \sigma D∬[αf(x,y)+βg(x,y)]dσ=αD∬f(x,y)Δdσ+βD∬g(x,y)Δσ
性质2(可加性) ： 如果闭区域D被有限曲线分为有限各部分闭区域，那么在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分和。
∬ D f ( x , y ) Δ σ = ∬ D 1 f ( x , y ) Δ σ + ∬ D 2 f ( x , y ) Δ σ \iint\limits_D f(x,y)\Delta\sigma=\iint\limits_{D1} f(x,y)\Delta\sigma+\iint\limits_{D2} f(x,y)\Delta\sigma D∬f(x,y)Δσ=D1∬f(x,y)Δσ+D2∬f(x,y)Δσ
性质3 ：如果在D上，f(x,y)=1, σ \sigma σ为D的面积，那么 σ = ∬ D 1. d σ = ∬ D d σ \sigma=\iint_D 1.d\sigma=\iint_D d\sigma σ=∬D1.dσ=∬Ddσ
性质4 ：如果在D上，f(x,y) ≤ \leq ≤g(x,y)，那么有 ∬ D f ( x , y ) Δ σ ≤ ∬ D g ( x , y ) Δ σ \iint\limits_D f(x,y)\Delta \sigma \le \iint\limits_D g(x,y)\Delta \sigma D∬f(x,y)Δσ≤D∬g(x,y)Δσ
性质5 ：设M和m分别是f(x,y)在闭区域D的最大值和最小值， σ \sigma σ是D的面积，则有
m σ ≤ ∬ D f ( x , y ) d σ ≤ M σ m\sigma \le \iint\limits_Df(x,y)d\sigma \le M\sigma mσ≤D∬f(x,y)dσ≤Mσ
性质6（二重积分的中值定理) ：设函数f(x,y)在闭区域D上连续， σ \sigma σ是D的面积，则在D上至少存在一点(x1,y1)，使得： ∬ D f ( x , y ) d σ = f ( x 1 , y 1 ) σ \iint\limits_D f(x,y)d\sigma=f(x_1,y_1)\sigma D∬f(x,y)dσ=f(x1,y1)σ
二重积分的及算法
一、利用直角坐标计算二重积分
先积y，再积x或先积x，再积y都可以。
∫ a b d x ∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 2 ( x ) f ( x , y ) d y = ∫ c d d y ∫ ψ 1 ( y ) ψ 2 ( y ) f ( x , y ) d x \int_a^bdx\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)dy=\int_c^ddy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx ∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx
例1 计算 ∬ D x y d σ \iint\limits_Dxyd\sigma D∬xydσ,其中D是直线y=1,x=2及y=x所围成的区域。
解法一 ：先x后y。
y的取值范围 [ 1 , 2 ] [1,2] [1,2]，任意给定y, x ∈ [ y , 2 ] x\in [y,2] x∈[y,2]
故二重积分为： ∫ 1 2 d y ∫ y 2 x y d x \int_1^2dy\int_y^2xydx ∫12dy∫y2xydx
其中 ∫ y 2 x y d x = [ y x 2 2 ] ∣ y 2 = 2 y − y 3 2 \int_y^2xydx=[\frac {yx^2}2]|_y^2=2y-\frac{y^3}2 ∫y2xydx=[2yx2]∣y2=2y−2y3
故二重积分= [ y 2 − y 4 ÷ 8 ] ∣ 1 2 = 2 − 7 8 = 9 8 [y^2-y^4\div 8]|_1^2=2-\frac 7 8=\frac 9 8 [y2−y4÷8]∣12=2−87=89
解法二 ：先y后x。
x 的取值范围 [ 1 , 2 ] ，任意给定 x , y ∈ [ 1 , x ] x的取值范围[1,2]，任意给定x,y\in[1,x] x的取值范围[1,2]，任意给定x,y∈[1,x]
y 的积分和 = ∫ 1 x x y d y = [ x y 2 ÷ 2 ] ∣ 1 x = x 3 ÷ 2 − x ÷ 2 y的积分和=\int_1^xxydy=[xy^2\div 2]|_1^x=x^3\div 2-x\div 2 y的积分和=∫1xxydy=[xy2÷2]∣1x=x3÷2−x÷2
∫ 1 2 d x y 的积分和 = [ x 4 ÷ 8 − x 2 ÷ 4 ] 1 2 = 1 − ( 1 8 − 1 4 ) = 9 8 \int_1^2dx y的积分和=[x^4\div8-x^2\div 4]_1^2=1-(\frac 1 8-\frac 1 4)=\frac 9 8 ∫12dxy的积分和=[x4÷8−x2÷4]12=1−(81−41)=89
二、利用极坐标计算二重积分
Δ σ i = 1 2 ( ρ i + Δ ρ i ) 2 Δ θ − 1 2 ρ 2 Δ θ i \Delta \sigma_i=\frac 1 2(\rho_i+\Delta \rho_i)^2\Delta \theta-\frac 1 2\rho^2\Delta \theta_i Δσi=21(ρi+Δρi)2Δθ−21ρ2Δθi
= 1 2 2 ρ i Δ ρ i Δ θ =\frac 1 2 2\rho_i \Delta \rho_i \Delta \theta =212ρiΔρiΔθ 忽略高阶无穷小
= ρ Δ ρ Δ θ =\rho \Delta \rho \Delta \theta =ρΔρΔθ
∫ α β d θ ∫ ψ 1 ( θ ) ψ 2 ( θ ) f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ \int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{\psi_1(\theta)}^{\psi_2(\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho ∫αβdθ∫ψ1(θ)ψ2(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ
例6 求球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 a 2 x^2+y^2+z^2\le 4a^2 x2+y2+z2≤4a2圆柱面 x 2 + y 2 = 2 a x ( a > 0 ) x^2+y^2=2ax(a>0) x2+y2=2ax(a>0)所截得得（含在圆柱面内得部分)立体的体积。
圆柱面的底为 ( x − a ) 2 + y 2 = a 2 (x-a)^2+y^2=a^2 (x−a)2+y2=a2，即以(a,0)为圆心，a为半径的圆。
圆柱出现在第1，4，5，8 卦限，球出现在8个卦限。且各卦限完全相同。故可以只求第一卦限，然后乘以4。
圆柱面的底用极坐标表示为： 0 ≤ θ ≤ π / 2 , ρ = 2 a cos θ 0\le \theta \le \pi/2,\rho=2a\cos \theta 0≤θ≤π/2,ρ=2acosθ,由于 ρ ≤ 2 a \rho \le 2a ρ≤2a，故圆柱的底全部在球面内。
积分函数为： 4 a 2 − x 2 − y 2 = 4 a 2 − ρ 2 \sqrt{4a^2-x^2-y^2}=\sqrt{4a^2-\rho^2} 4a2−x2−y2 =4a2−ρ2
故二重积分为： ∫ 0 π / 2 d θ ∫ 0 2 a cos θ 4 a 2 − p 2 ρ d ρ \int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^{2a\cos\theta} \sqrt{4a^2-p^2}\rho d\rho ∫0π/2dθ∫02acosθ4a2−p2 ρdρ
∫ 4 a 2 − p 2 ρ d ρ = 4 a 2 − ρ 2 ( ρ 2 ) ′ d ρ ÷ 2 \int\sqrt{4a^2-p^2}\rho d\rho=\sqrt{4a^2-\rho^2}(\rho^2)'d\rho \div2 ∫4a2−p2 ρdρ=4a2−ρ2 (ρ2)′dρ÷2
= 4 a 2 − ρ 2 2 d ( ρ 2 ) = − 4 a 2 − ρ 2 2 d ( − ρ 2 ) = − 4 a 2 − ρ 2 2 d ( 4 a 2 − ρ 2 ) = − 1 3 ( 4 a 2 − p 2 ) 3 2 =\frac{\sqrt{4a^2-\rho^2}}2d(\rho^2)=-\frac{\sqrt{4a^2-\rho^2}}{2}d(-\rho^2)=-\frac{\sqrt{4a^2-\rho^2}}{2}d(4a^2-\rho^2)=-\frac 1 3(4a^2-p^2)^{\frac 3 2} =24a2−ρ2 d(ρ2)=−24a2−ρ2 d(−ρ2)=−24a2−ρ2 d(4a2−ρ2)=−31(4a2−p2)23
故 ρ \rho ρ的积分和为： − ( 4 a 2 − 4 a 2 cos 2 θ ) 3 2 3 + 1 3 ( 2 a ) 3 -\frac{(4a^2-4a^2\cos^2\theta)^{\frac 3 2}}{3}+\frac 1 3(2a)^3 −3(4a2−4a2cos2θ)23+31(2a)3
= − 1 3 ( 2 a sin θ ) 3 + 1 3 ( 2 a ) 3 -\frac 1 3(2a\sin\theta)^3+\frac 1 3(2a)^3 −31(2asinθ)3+31(2a)3
= 8 a 3 3 ( 1 − s i n 3 θ ) \frac {8a^3}3(1-sin^3\theta) 38a3(1−sin3θ)
∫ 0 π ÷ 2 ( 1 − s i n 3 θ ) d θ = ∫ 0 π ÷ 2 1 d θ − ∫ 0 π ÷ 2 sin 3 θ d θ \int_0^{\pi \div 2}(1-sin^3\theta)d\theta=\int_0^{\pi \div 2}1d \theta - \int_0^{\pi \div 2}\sin^3\theta d\theta ∫0π÷2(1−sin3θ)dθ=∫0π÷21dθ−∫0π÷2sin3θdθ
= π ÷ 2 − ( − cos θ + cos 3 θ ÷ 3 ) ∣ 0 π ÷ 2 = π 2 − 2 3 \pi \div 2-(-\cos \theta+\cos^3 \theta \div 3)|_0^{\pi \div 2}=\frac {\pi}2-\frac 2 3 π÷2−(−cosθ+cos3θ÷3)∣0π÷2=2π−32
故最终答案是： 32 a 3 3 ( π 2 − 2 3 ) \frac {32a^3}3(\frac {\pi} 2-\frac 2 3) 332a3(2π−32)
三重积分
一、三重积分的概念
定义 设f(x,y,z)是空间有界闭区域 Ω \Omega Ω上的有界函数。将 Ω \Omega Ω任意分成n个小闭合区域
Δ V 1 , Δ V 2 , ⋯ , Δ V n \Delta V_1,\Delta V_2,\cdots ,\Delta V_n ΔV1,ΔV2,⋯,ΔVn
其中 Δ V i \Delta V_i ΔVi表示第i个小闭合区域，也表示它的体积。在每个 Δ V i \Delta V_i ΔVi上任取一点 ( x i , y i , z i ) (x_i,y_i,z_i) (xi,yi,zi)做乘积 f ( x i , y i , z i ) Δ V i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) f(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i (i=1,2,\cdots ,n) f(xi,yi,zi)ΔVi(i=1,2,⋯,n),并作和 ∑ i = 1 n f ( x i , y y , z i ) Δ V i \sum\limits_{i=1}^nf(x_i,y_y,z_i)\Delta V_i i=1∑nf(xi,yy,zi)ΔVi,如果当各闭合小区域直径的最大值 λ → 0 \lambda \to 0 λ→0时，这和的极限总存在。且与闭区域 Ω \Omega Ω的分法及点 ( x i , y i , z i ) (x_i,y_i,z_i) (xi,yi,zi)的取法无关，那么称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域 Ω \Omega Ω上的三种积分。记作
∭ Ω f ( x , y , z ) d V = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( x i , y i , z i ) Δ V i \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dV=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i Ω∭f(x,y,z)dV=λ→0limi=1∑nf(xi,yi,zi)ΔVi
其中f(x,y,z)叫做被积函数，dV叫做体积元素， Ω \Omega Ω叫做积分区域。
三重积分可化为先对z、次对y、最后对x的三次积分。
二、三重积分的计算
1 利用直角坐标系计算三重积分
2 利用柱面坐标系计算三重积分
3利用球面坐标计算三重积分
0 ≤ θ < 2 π , 0 ≤ ψ π , 0 ≤ r < + ∞ 0 \le \theta<2\pi,0 \le \psi \pi, 0\le r < +\infty 0≤θ<2π,0≤ψπ,0≤r<+∞
r是常数，即以原点为球心的球面。
ψ 是常数，即以原点为顶点、 z 轴为轴的圆锥面 \psi是常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面 ψ是常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；
θ 是常数，即过 z 轴的半平面 \theta是常数，即过z轴的半平面 θ是常数，即过z轴的半平面。
x = ∣ O P ∣ cos θ = r sin ψ cos θ y = r sin ψ sin θ z = r cos ψ x=|OP|\cos\theta=r\sin \psi\cos \theta\\y=r\sin\psi\sin\theta\\ z=r\cos\psi x=∣OP∣cosθ=rsinψcosθy=rsinψsinθz=rcosψ
小六面体经向方向的变化为：dr
经线方向的变化为： r d ψ rd\psi rdψ
维线方向的变化为： r sin ψ θ r\sin\psi\theta rsinψθ
故 d v = r 2 sin ψ d r d ψ d θ dv=r^2\sin\psi dr d\psi d\theta dv=r2sinψdrdψdθ
三重积分的变量从直角坐标变成求面坐标：
∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ Ω F ( r , ψ , θ ) r 2 sin ψ d r d ψ d θ \iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dxdydz=\iiint\limits_\Omega F(r,\psi,\theta)r^2\sin \psi drd\psi d\theta Ω∭f(x,y,z)dxdydz=Ω∭F(r,ψ,θ)r2sinψdrdψdθ
第四节 重积分的应用
一，曲面的面积
A = ∬ D 1 + f x 2 ( x , y ) + f y 2 ( x , y ) d σ = ∬ D 1 + ( ∂ z ∂ x ) 2 + ( ∂ z ∂ y ) 2 d x d y A=\iint\limits_D\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}d\sigma=\iint\limits_D\sqrt{1 +(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy A=D∬1+fx2(x,y)+fy2(x,y) dσ=D∬1+(∂x∂z)2+(∂y∂z)2 dxdy
薄片的质心
薄片的质心为： x ˉ = M y M = ∬ D x u ( x , y ) d σ ∬ D u ( x , y ) d σ ，纵坐标类似 \bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\iint\limits_Dxu(x,y)d\sigma}{\iint\limits_Du(x,y)d\sigma}，纵坐标类似 xˉ=MMy=D∬u(x,y)dσD∬xu(x,y)dσ，纵坐标类似
如果时均匀薄板，则：
b a r x = 1 A ∬ x d σ _{bar}x=\frac 1 A\iint x d\sigma barx=A1∬xdσ
转到惯量
设xOy平面上有n个质点，它们分别为 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y ) , ⋯ , ( x n , y n ) (x_1,y_1),(x_2,y_),\cdots,(x_n,y_n) (x1,y1),(x2,y),⋯,(xn,yn)处，质量分别为 m 1 , m 2 , ⋯ m n m1,m2,\cdots m_n m1,m2,⋯mn处，该质点系对于x轴和y轴的转动惯量为：
I x = ∑ i = 1 n y i 2 m i , I y = ∑ i = 1 n x i 2 m i I_x=\sum_{i=1}^ny^2_im_i,I_y=\sum_{i=1}^nx_i^2m_i Ix=i=1∑nyi2mi,Iy=i=1∑nxi2mi
引力
空间一物体对于物体外一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处单位质量的质点的引力问题。
设物体占有空间有界闭区域 Ω \Omega Ω,它在点(x,y,z)处的密度为 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)，并假定 ρ ( x , y , z ) 在 Ω 上连续 \rho(x,y,z)在\Omega上连续 ρ(x,y,z)在Ω上连续，在物体内任取一直径很小的闭区域dV(它的体积也记作dV)，(x,y,z)为这一小块中的一点，把这一小块物体的质量pdV近似地看做集中在点(x,y,z)处。于是按两质点间的引力公式，可得这一小块物体对位于 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处的单位质量 的质点的引力近似认为
F x = ∭ D G ρ ( x , y , z ) ( x − x 0 ) r 3 , r = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 F_x=\iiint\limits_D\frac{G\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3},r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2} Fx=D∭r3Gρ(x,y,z)(x−x0),r=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2 Fy,Fz类似。
扩展阅读
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
