【洛必达法则】定理5.13
假设实函数fff和ggg在(a,b)(a,b)(a,b)内可微，而且对于所有x∈(a,b)x \in (a,b)x∈(a,b)，g′(x)≠0g'(x) \neq 0g′(x)=0。这里−∞≤a<b≤+∞- \infty \leq a < b \leq \text{+}\infty−∞≤a<b≤+∞。已知
当x→ax \rightarrow ax→a时，f′(x)g′(x)→A\frac{f'(x)}{g'(x)} \rightarrow Ag′(x)f′(x)→A，
如果
当x→a时，f(x)→0，g(x)→0 #(1)\begin{array}{r} 当x \rightarrow a时，f(x) \rightarrow 0，g(x) \rightarrow 0\ \#(1) \end{array}当x→a时，f(x)→0，g(x)→0 #(1)
或
当x→a时，g(x)→−∞#(2)\begin{array}{r} 当x \rightarrow a时，g(x) \rightarrow - \infty\#(2) \end{array}当x→a时，g(x)→−∞#(2)
或
当x→a时，g(x)→+∞#(3)\begin{array}{r} 当x \rightarrow a时，g(x) \rightarrow + \infty\#(3) \end{array}当x→a时，g(x)→+∞#(3)
那么
当x→ax \rightarrow ax→a时，f(x)g(x)→A\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow Ag(x)f(x)→A。
【证明】
先考虑−∞≤A<+∞- \infty \leq A < + \infty−∞≤A<+∞的情形，此时需要根据函数极限定义来证明。由于g′(x)≠0g'(x) \neq 0g′(x)=0，所以在aaa的某邻域内必然有g(x1)≠g(x2)g\left( x_{1} \right) \neq g\left( x_{2} \right)g(x1)=g(x2)，此时由于洛必达法则条件g(x)→0g(x) \rightarrow 0g(x)→0或g(x)→+∞g(x) \rightarrow \text{+}\inftyg(x)→+∞或g(x)→−∞g(x) \rightarrow - \inftyg(x)→−∞，所以在aaa的某邻域内必然也有g(x)≠0g(x) \neq 0g(x)=0。根据函数极限定义、微分中值定理可知，在aaa的某邻域I1I_{1}I1上有
f(x1)−f(x2)g(x1)−g(x2)<A+ε\frac{f\left( x_{1} \right) - f(x_{2})}{g\left( x_{1} \right) - g\left( x_{2} \right)} < A + \varepsilong(x1)−g(x2)f(x1)−f(x2)<A+ε
其中ε>0\varepsilon > 0ε>0。
缩小该邻域I2I_{2}I2使得
g(x1)≠0g\left( x_{1} \right) \neq 0g(x1)=0
于是
f(x1)g(x1)−f(x2)g(x1)1−g(x2)g(x1)<A+ε\frac{\frac{f\left( x_{1} \right)}{g\left( x_{1} \right)} - \frac{f\left( x_{2} \right)}{g\left( x_{1} \right)}}{1 - \frac{g\left( x_{2} \right)}{g\left( x_{1} \right)}} < A + \varepsilon1−g(x1)g(x2)g(x1)f(x1)−g(x1)f(x2)<A+ε
对于情形（1）固定x1x_{1}x1不变，当x2→ax_{2} \rightarrow ax2→a时，可知
f(x2)g(x1)→0 g(x2)g(x1)→0\frac{f\left( x_{2} \right)}{g\left( x_{1} \right)} \rightarrow 0\ \ \ \ \ \frac{g\left( x_{2} \right)}{g\left( x_{1} \right)} \rightarrow 0g(x1)f(x2)→0 g(x1)g(x2)→0
于是在该缩小后的邻域I2I_{2}I2有
f(x1)g(x1)<A+ε+ε=A+2ε\frac{f\left( x_{1} \right)}{g\left( x_{1} \right)} < A + \varepsilon + \varepsilon = A + 2\varepsilong(x1)f(x1)<A+ε+ε=A+2ε
这样就证明了（1）情形的一半。
对于情形（2）（3）固定x2x_{2}x2不变，当x1→ax_{1} \rightarrow ax1→a时，可知
f(x2)g(x1)→0 g(x2)g(x1)→0\frac{f\left( x_{2} \right)}{g\left( x_{1} \right)} \rightarrow 0\ \ \ \ \ \frac{g\left( x_{2} \right)}{g\left( x_{1} \right)} \rightarrow 0g(x1)f(x2)→0 g(x1)g(x2)→0
此时必有进一步缩小后的邻域I3I_{3}I3使得
f(x1)g(x1)<A+ε+ε=A+2ε\frac{f\left( x_{1} \right)}{g\left( x_{1} \right)} < A + \varepsilon + \varepsilon = A + 2\varepsilong(x1)f(x1)<A+ε+ε=A+2ε
综合可知，总有邻域，无论x1x_{1}x1如何取值，总有
f(x1)g(x1)<A+2ε\frac{f\left( x_{1} \right)}{g\left( x_{1} \right)} < A + 2\varepsilong(x1)f(x1)<A+2ε
同理，若是−∞<A≤+∞- \infty < A \leq + \infty−∞<A≤+∞的情形，依然可以证明，总有邻域，无论x1x_{1}x1如何取值，总有
f(x1)g(x1)>A−2ε\frac{f\left( x_{1} \right)}{g\left( x_{1} \right)} > A - 2\varepsilong(x1)f(x1)>A−2ε
由于ε\varepsilonε是任意的，所以当x→ax \rightarrow ax→a时，
f(x)g(x)→A\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow Ag(x)f(x)→A