【LeetCode 刷题笔记】35. 搜索插入位置 | 二分查找经典入门题

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一、题目描述

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

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二、解题思路

• 题目明确要求时间复杂度为 O(log n)，因此暴力遍历（O(n)）不符合要求，必须使用二分查找。
• 核心需求拆解：
  1. 若数组中存在目标值，直接返回其索引；
  2. 若目标值不存在，返回按升序插入的位置（本质是寻找数组中第一个大于目标值的元素的索引）。
• 二分查找核心逻辑：通过不断缩小查找区间，每次排除一半元素，最终定位目标值或确定插入位置。

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三、代码实现（Java）

解法1：

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        // 边界处理：数组为null的鲁棒性判断
        if(nums == null){
            return -1;
        }
        // 初始化二分查找区间（闭区间 [low, high]）
        int low = 0;
        int high = nums.length - 1;
        int mid = 0;
        // 二分查找循环：low <= high 保证所有元素都被遍历
        while(low <= high){
            // 计算中间位置，避免 low + high 直接相加导致int溢出
            mid = low + (high - low) / 2;
            if(nums[mid] == target){
                // 找到目标值，直接返回索引
                return mid;
            }
            else if(nums[mid] < target){
                // 目标值更大，需向右半部分查找，更新左边界
                low = mid + 1;
            }
            else{
                // 目标值更小，需向左半部分查找，更新右边界
                high = mid - 1;
            }
        }
        // 退出循环时，low 即为目标值的插入位置
        return low;
    }
}

也可以用 【LeetCode 刷题笔记】34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 | 二分查找经典刷题题解这篇文章的思路，本质也还是二分查找。
解法2：代码如下：

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        int l = 0, r = x, ans = -1;
        while (l <= r) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
            if ((long) mid * mid <= x) {
                ans = mid;
                l = mid + 1;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

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四、核心笔记&易错点解析

1. 边界情况处理：空数组/空输入

• 当 nums == null 时，返回-1（题目默认nums为有效排序数组，添加此判断可提升代码鲁棒性）。

• 当 nums.length == 0 时，high = nums.length - 1 = -1，此时循环条件 low <= high（0 <= -1）不成立，直接退出循环，返回 low = 0，正好对应空数组的插入位置为0，符合题目要求。

2. 为什么循环退出后直接返回 low？

很多同学会疑惑：循环结束时 low > high，此时low为什么一定是正确的插入位置？我们可以结合循环的最后一步（low == high时）分析：

当 low == high 时，mid = low = high，此时分三种情况：

1. nums[mid] == target：已在循环内直接return mid，不会走到退出循环的步骤；

2. nums[mid] < target ：目标值比当前mid位置的元素大，插入位置应为 mid + 1。循环内会执行 low = mid + 1，此时 low > high，退出循环，low 正好等于 mid + 1，即正确插入位置；

3. nums[mid] > target ：目标值比当前mid位置的元素小，插入位置应为当前的mid（即low）。循环内会执行 high = mid - 1，此时 low > high，退出循环，low 仍为原来的mid值，即正确插入位置。

因此，无论哪种情况，循环退出后low一定是目标值的正确插入位置。

3. 二分查找细节优化

• mid = low + (high - low) / 2：相比直接写 mid = (low + high) / 2，这种写法可避免 low + high 超过int最大值导致溢出，是二分查找的标准写法。

• 循环条件 low <= high：这是闭区间二分查找的标准条件，保证数组所有元素都被遍历到，不会漏掉边界情况。

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五、复杂度分析

• 时间复杂度 ：O(log n)，每次循环将查找区间缩小一半，最多循环log₂n次，完全符合题目要求。

• 空间复杂度 ：O(1)，仅使用了常数级别的额外空间。

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六、总结

• 这道题的核心是利用二分查找实现O(log n)的时间复杂度，关键在于理解循环退出后low的含义。

• 闭区间二分查找的模板需要牢记，尤其是边界条件和mid的计算方式，避免溢出和死循环。

• 这类"寻找插入位置"的问题，本质上是寻找数组中第一个大于等于目标值的元素的索引，用二分查找可以高效解决。