【一等奖版】2026 金地杯 C题核桃油品质分析

🌊 2026 金地杯 C题核桃油品质分析

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先来看题目：

核桃是我国四大木本油料之首，具有重要的经济、营养价值。核桃油富含不饱和脂肪酸，高含量不饱和脂肪酸在加工和储存过程中容易发生氧化变质，不仅会降低油脂的营养价值，还会产生对人体健康不利的物质。核桃油的氧化程度是判定其营养价值和食用安全性关键因素之一。除此之外，人们判定食用油的品质等级，还会考虑它的风味。而人们对风味的理解，广义上是指食品入口前后对人体的视觉、嗅觉、味觉等多种感官产生的刺激，从而产生的综合印象;狭义上指食品的香气和滋味。

附件给出三种核桃油(香玲、鲁光、山核桃)加速氧化过程中多种挥发性有机化合物(VOCs)含量的变化数据(数据采用组间字母标记法;数据中"nd'表示加速氧化过程中第n天的检测值;空白表示未检测到该成分)，请根据这些数据，建立数学模型解决以下问题:

问题1分析三种核桃油在氧化过程中基本成分和氧化产物的变化规律，给出不同物质的含量变化趋势、增长速率、峰值出现时间等,

问题2 分析附件中三种核桃油的各类 VOCs 变化特征，提取表征氧化进程的氧化标志物，通过对比不同核桃油中氧化标志物的变化速率、最终含量等，讨论三种核桃油的氧化稳定性。

问题3 构建核桃油综合品质评价模型，利用所建模型对不同化阶段的三种核桃油进行品质量化评分与等级划分,分析氧化进程对各品种核桃油品质的影响程度，对比不同品种核桃油的品质保持能力。

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模型建立与求解

建模准备与分析

本问题旨在从高维挥发性有机物浓度数据中，自动识别烷烃降解的基本成分与积累的氧化产物，并为其建立氧化反应动力学模型。我们首先对原始数据进行时空重构与归一化，引入动态时间规整度量刻画时间序列形态差异，通过层次聚类实现无监督分类；随后利用降维投影验证聚类合理性并揭示流形结构。在分类基础上，为两类成分分别构建一级衰减动力学与Logistic增长动力学骨架，并引入非线性混合效应模型以捕捉化合物个体的随机效应。在求解阶段，采用Levenberg‑Marquardt算法获取参数初值，结合拉普拉斯近似求解混合模型，通过残差诊断、时间序列交叉验证及Sobol全局灵敏度分析全面验证模型稳健性与参数重要性。

模型建立

数据空间定义与预处理算子

设实验涉及 mmm 种挥发性有机化合物，在 nnn 个离散氧化天数 τ1,τ2,...,τn\tau_1,\tau_2,\dots,\tau_nτ1,τ2,...,τn 测得的浓度矩阵为 X∈Rm×n\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{m\times n}X∈Rm×n，元素 xijx_{ij}xij 表示第 iii 种成分在第 jjj 个时间点的浓度。定义解析函数 ψ\psiψ 将含非数值标签的原始文字映射为实际天数：
ψ(标签)={数字部分若可解析0若为"nd"或空白 \psi(\text{标签}) = \begin{cases} \text{数字部分} & \text{若可解析} \\ 0 & \text{若为"nd"或空白} \end{cases} ψ(标签)={数字部分0若可解析若为"nd"或空白

进而得标准化时间向量 t=(t1,t2,...,tn)⊤\mathbf{t} = (t_1, t_2, \dots, t_n)^\topt=(t1,t2,...,tn)⊤。同时设立最低检测限指示矩阵 L∈{0,1}m×n\mathbf{L} \in \{0,1\}^{m\times n}L∈{0,1}m×n，对低于阈值的条目填充 000 并辅助标记。为消除量纲并保持欧氏距离比值不变，对每条成分序列实施 min‑max 归一化：
x~k=xk−min⁡(x)max⁡(x)−min⁡(x)(k=1,...,n) \tilde{x}_k = \frac{x_k - \min(\mathbf{x})}{\max(\mathbf{x}) - \min(\mathbf{x})} \quad (k=1,\dots,n) x~k=max(x)−min(x)xk−min(x)(k=1,...,n)

该变换等价于将数据点嵌入超立方体 [0,1]n[0,1]^n[0,1]n 并保留相对次序。记归一化后的全局矩阵为 X~∈[0,1]m×n\tilde{\mathbf{X}} \in [0,1]^{m\times n}X~∈[0,1]m×n。

基于动态时间规整的聚类与流形验证

为有效捕获氧化过程中非均匀采样的动态延迟，采用动态时间规整距离作为序列相异性度量。对两条归一化序列 u,v∈Rn\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^nu,v∈Rn，构造局部代价矩阵 c(i,j)=∥ui−vj∥22c(i,j)=\|u_i-v_j\|_2^2c(i,j)=∥ui−vj∥22，并按递推定义累计距离矩阵：
γ(i,j)=c(i,j)+min⁡{γ(i−1,j−1), γ(i−1,j), γ(i,j−1)} \gamma(i,j) = c(i,j) + \min\{\gamma(i-1,j-1), \,\gamma(i-1,j), \,\gamma(i,j-1)\} γ(i,j)=c(i,j)+min{γ(i−1,j−1),γ(i−1,j),γ(i,j−1)}

边界 γ(1,1)=c(1,1)\gamma(1,1)=c(1,1)γ(1,1)=c(1,1)。最终 DTW 距离为 dDTW(u,v)=γ(n,n)d_{\text{DTW}}(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \gamma(n,n)dDTW(u,v)=γ(n,n)。对全体 mmm 条曲线计算成对距离矩阵 DDTW∈Rm×m\mathbf{D}_{\text{DTW}}\in\mathbb{R}^{m\times m}DDTW∈Rm×m，并采用 Ward 连接准则实施层次聚类。合并簇 A,BA,BA,B 的类内平方和增量为
Δ(A,B)=∣A∣∣B∣∣A∣+∣B∣ ∥uˉA−uˉB∥2, \Delta(A,B) = \frac{|A||B|}{|A|+|B|}\,\|\bar{\mathbf{u}}_A - \bar{\mathbf{u}}_B\|^2, Δ(A,B)=∣A∣+∣B∣∣A∣∣B∣∥uˉA−uˉB∥2,

其中 uˉA\bar{\mathbf{u}}AuˉA 由 DTW Barycenter Averaging 获得。通过剪枝树状图自然获得两个簇：呈持续衰减趋势的基本成分簇 CdecC{\text{dec}}Cdec 与呈单调增长趋势的氧化产物簇 CincC_{\text{inc}}Cinc，记标签向量 z∈{0,1}m\mathbf{z}\in\{0,1\}^mz∈{0,1}m。

为在高维浓度空间中直观验证聚类效果，引入 t‑分布式随机邻域嵌入。对高维点 xi∈Rn\mathbf{x}i\in\mathbb{R}^nxi∈Rn，构造条件概率 pj∣i=exp⁡(−∥xi−xj∥2/2σi2)∑k≠iexp⁡(−∥xi−xk∥2/2σi2)p{j|i} = \frac{\exp(-\|\mathbf{x}i - \mathbf{x}j\|^2 / 2\sigma_i^2)}{\sum{k\neq i}\exp(-\|\mathbf{x}i - \mathbf{x}k\|^2 / 2\sigma_i^2)}pj∣i=∑k=iexp(−∥xi−xk∥2/2σi2)exp(−∥xi−xj∥2/2σi2)，对称化为 pij=pj∣i+pi∣j2mp{ij}=\frac{p{j|i}+p{i|j}}{2m}pij=2mpj∣i+pi∣j；低维映射点 yi∈R2\mathbf{y}i\in\mathbb{R}^2yi∈R2 的相似度采用重尾 t 分布 qij=(1+∥yi−yj∥2)−1∑k≠l(1+∥yk−yl∥2)−1q{ij} = \frac{(1+\|\mathbf{y}i-\mathbf{y}j\|^2)^{-1}}{\sum{k\neq l}(1+\|\mathbf{y}k-\mathbf{y}l\|^2)^{-1}}qij=∑k=l(1+∥yk−yl∥2)−1(1+∥yi−yj∥2)−1。通过最小化 KL 散度 KL(P∥Q)=∑i≠jpijlog⁡pijqijKL(P\|Q)=\sum{i\neq j}p{ij}\log\frac{p{ij}}{q_{ij}}KL(P∥Q)=∑i=jpijlogqijpij 优化二维坐标，保留邻域结构。

投影显示，数据点在二维流形中随氧化时间呈单方向弧形轨迹：衰减簇向浓度零点收缩，增长簇向高浓度区域延伸，清晰印证了基本成分消耗与产物积累的互补趋势。

氧化反应动力学模型与混合效应框架

基于聚类结果，分别对两类成分建模。对于衰减簇，由一级不可逆反应 A→k产物A \xrightarrow{k} \text{产物}Ak 产物的速率方程 dC(t)dt=−kC(t)\frac{dC(t)}{dt} = -k C(t)dtdC(t)=−kC(t) 解得浓度函数
C(t)=C0e−kt, C(t) = C_0 e^{-k t}, C(t)=C0e−kt,

并导出半衰期 t1/2=ln⁡2kt_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}t1/2=kln2。对于产物积累的 S 型增长，采用 Logistic 方程 dC(t)dt=bC(t)(1−C(t)a)\frac{dC(t)}{dt} = b C(t) (1-\frac{C(t)}{a})dtdC(t)=bC(t)(1−aC(t))，分离变量积分得到三参数形式：
C(t)=a1+exp⁡(−b(t−c)), C(t) = \frac{a}{1 + \exp(-b(t-c))}, C(t)=1+exp(−b(t−c))a,

其中 aaa 为最大渐进浓度，bbb 为本征增长率，ccc 为拐点时间。最大增长速率出现在 t=ct=ct=c，值为 ab4\frac{ab}{4}4ab。

为捕捉不同化合物间动力学的个体差异，引入非线性混合效应模型。设第 iii 个成分的个体参数向量 ϕi\boldsymbol{\phi}iϕi（衰减型为 (C0i,ki)⊤(C{0i}, k_i)^\top(C0i,ki)⊤，增长型为 (ai,bi,ci)⊤(a_i, b_i, c_i)^\top(ai,bi,ci)⊤）分解为群体固定效应与随机效应：
ϕi=Aiβ+Bibi,bi∼N(0,Ψ), \boldsymbol{\phi}_i = \mathbf{A}_i \boldsymbol{\beta} + \mathbf{B}_i \mathbf{b}_i, \qquad \mathbf{b}_i \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Psi}), ϕi=Aiβ+Bibi,bi∼N(0,Ψ),

观测浓度由期望函数加噪声构成 yij=f(tj,ϕi)+εijy_{ij} = f(t_j, \boldsymbol{\phi}i) + \varepsilon{ij}yij=f(tj,ϕi)+εij，εij∼N(0,σ2)\varepsilon_{ij}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)εij∼N(0,σ2)。衰减期望为 f(t,ϕi)=C0ie−kitf(t, \boldsymbol{\phi}i) = C{0i} e^{-k_i t}f(t,ϕi)=C0ie−kit，增长期望为 f(t,ϕi)=ai1+exp⁡(−bi(t−ci))f(t, \boldsymbol{\phi}_i) = \frac{a_i}{1+\exp(-b_i(t-c_i))}f(t,ϕi)=1+exp(−bi(t−ci))ai。

氧化还原耦合场的相空间重构

为直观展示衰减与生成的耦合关系，选取若干代表化合物，以其归一化浓度为坐标构建三维相空间 R3\mathbb{R}^3R3，状态向量 s(t)=[Cdec1(t),Cdec2(t),Cinc1(t)]⊤\mathbf{s}(t)=[C_{\text{dec1}}(t), C_{\text{dec2}}(t), C_{\text{inc1}}(t)]^\tops(t)=[Cdec1(t),Cdec2(t),Cinc1(t)]⊤ 随天数演化形成轨迹 Γ\GammaΓ。

轨迹呈现类似向外螺旋的结构，衰减维度的压缩驱动产物维度的非线性膨胀，直观揭示了系统内隐含的氧化还原耦合场。

模型求解与结果分析

非线性最小二乘与 Levenberg--Marquardt 迭代

不含随机效应的初始参数采用非线性最小二乘估计，最小化残差平方和泛函 S(ϕ)=∑i=1m∑j=1n(yij−f(tj,ϕ))2=∥r(ϕ)∥22S(\boldsymbol{\phi}) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}(y_{ij} - f(t_j, \boldsymbol{\phi}))^2 = \|\mathbf{r}(\boldsymbol{\phi})\|2^2S(ϕ)=∑i=1m∑j=1n(yij−f(tj,ϕ))2=∥r(ϕ)∥22。对 fff 线性化：f(tj,ϕ)≈f(tj,ϕ(k))+Jij(ϕ(k))⋅(ϕ−ϕ(k))f(t_j,\boldsymbol{\phi})\approx f(t_j,\boldsymbol{\phi}^{(k)}) + \mathbf{J}{ij}(\boldsymbol{\phi}^{(k)})\cdot(\boldsymbol{\phi}-\boldsymbol{\phi}^{(k)})f(tj,ϕ)≈f(tj,ϕ(k))+Jij(ϕ(k))⋅(ϕ−ϕ(k))，其中雅可比矩阵行向量 Jij(ϕ)=(∂f∂ϕ1(tj,ϕ),...,∂f∂ϕp(tj,ϕ))\mathbf{J}_{ij}(\boldsymbol{\phi}) = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial\phi_1}(t_j,\boldsymbol{\phi}),\dots,\frac{\partial f}{\partial\phi_p}(t_j,\boldsymbol{\phi})\Bigr)Jij(ϕ)=(∂ϕ1∂f(tj,ϕ),...,∂ϕp∂f(tj,ϕ))。引入阻尼项得到 Levenberg--Marquardt 正规方程：
(J⊤J+λI)Δϕ(k)=−J⊤r(ϕ(k)),ϕ(k+1)=ϕ(k)+Δϕ(k). \bigl(\mathbf{J}^\top\mathbf{J} + \lambda \mathbf{I}\bigr)\Delta\boldsymbol{\phi}^{(k)} = -\mathbf{J}^\top\mathbf{r}(\boldsymbol{\phi}^{(k)}), \qquad \boldsymbol{\phi}^{(k+1)} = \boldsymbol{\phi}^{(k)} + \Delta\boldsymbol{\phi}^{(k)}. (J⊤J+λI)Δϕ(k)=−J⊤r(ϕ(k)),ϕ(k+1)=ϕ(k)+Δϕ(k).

阻尼参数 λ\lambdaλ 动态调节。对于衰减模型，解析雅可比为 ∂f∂C0=e−kt, ∂f∂k=−C0te−kt\frac{\partial f}{\partial C_0}=e^{-kt},\;\frac{\partial f}{\partial k}=-C_0 t e^{-kt}∂C0∂f=e−kt,∂k∂f=−C0te−kt；Logistic 模型偏导为 ∂f∂a=11+e−b(t−c)\frac{\partial f}{\partial a} = \frac{1}{1+e^{-b(t-c)}}∂a∂f=1+e−b(t−c)1，∂f∂b=a(t−c)e−b(t−c)(1+e−b(t−c))2\frac{\partial f}{\partial b} = \frac{a(t-c)e^{-b(t-c)}}{(1+e^{-b(t-c)})^2}∂b∂f=(1+e−b(t−c))2a(t−c)e−b(t−c)，∂f∂c=−abe−b(t−c)(1+e−b(t−c))2\frac{\partial f}{\partial c} = -\frac{a b e^{-b(t-c)}}{(1+e^{-b(t-c)})^2}∂c∂f=−(1+e−b(t−c))2abe−b(t−c)。迭代至 ∥Δϕ∥<ϵ\|\Delta\boldsymbol{\phi}\|<\epsilon∥Δϕ∥<ϵ 收敛，获得高精度初值。

非线性混合效应模型求解

混合模型的边际似然 L(β,Ψ,σ2)=∏i=1m∫p(yi∣bi,β,σ2) p(bi∣Ψ) dbiL(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\Psi},\sigma^2)=\prod_{i=1}^{m}\int p(\mathbf{y}_i\mid\mathbf{b}_i,\boldsymbol{\beta},\sigma^2)\,p(\mathbf{b}_i\mid\boldsymbol{\Psi})\,d\mathbf{b}_iL(β,Ψ,σ2)=∏i=1m∫p(yi∣bi,β,σ2)p(bi∣Ψ)dbi 由于高维积分不可解析，采用一阶条件期望结合牛顿‑拉弗森优化。对每个个体由贝叶斯后验最大估计获取 b^i\hat{\mathbf{b}}_ib^i，再迭代整体似然。参数估计完毕后，利用 delta 方法计算派生量（如半衰期）的近似标准误：Var⁡(h(θ^))≈∇h⊤Var⁡^(θ^)∇h\operatorname{Var}(h(\hat{\boldsymbol{\theta}})) \approx \nabla h^\top \widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\boldsymbol{\theta}}) \nabla hVar(h(θ^))≈∇h⊤Var (θ^)∇h。同时用 Bootstrap 重抽样（B=2000B=2000B=2000）获得参数经验分布和 95% 置信区间。

以下两表给出了部分化合物动力学参数的估计值与推断结果。

成分ID	C0C_0C0 (估计值 ±\pm± SE)	kkk (×10−2\times 10^{-2}×10−2)	t1/2t_{1/2}t1/2 (天)	Bootstrap 95% CI for t1/2t_{1/2}t1/2
Dec_01	1.032 ±\pm± 0.041	3.21 ±\pm± 0.15	21.59	[20.1, 23.1]
Dec_02	0.987 ±\pm± 0.033	4.50 ±\pm± 0.22	15.40	[14.3, 16.6]
Dec_03	0.952 ±\pm± 0.052	2.78 ±\pm± 0.18	24.93	[22.8, 27.4]

: 基本成分一级衰减模型参数估计值与统计学推断

表中速率常数 kkk 的变异直接导致半衰期从约 15 天至 25 天不等，体现了化合物对氧化敏感性的显著个体差异。

成分ID	aaa	bbb (×10−2\times 10^{-2}×10−2)	ccc (天)	峰值时间 ccc (天)	最大增长速率 ab4\frac{ab}{4}4ab
Inc_01	1.250 ±\pm± 0.058	5.52 ±\pm± 0.32	18.91	18.91	0.0173
Inc_02	1.105 ±\pm± 0.046	6.13 ±\pm± 0.28	14.82	14.82	0.0169
Inc_03	0.938 ±\pm± 0.071	8.21 ±\pm± 0.41	21.30	21.30	0.0193

: 氧化产物 Logistic 模型参数估计值与关键动力学指标

产物拐点时间 ccc 的分散分布表明不同化合物达到最大生成速率的时间具有明显时序，最大增长速率 ab4\frac{ab}{4}4ab 则量化了爆发式积累的强度。

模型诊断与交叉验证

定义标准化残差 rij=(yij−y^ij)/σ^r_{ij}=(y_{ij}-\hat{y}_{ij})/\hat{\sigma}rij=(yij−y^ij)/σ^，通过 Q‑Q 图与残差‑时间散点图检验正态性与方差齐性。采用严格的时间序列交叉验证：每序列保留最后两个点作为测试集 T\mathcal{T}T，重新估计参数后计算泛化指标。

成分类别	RMSE	R2R^2R2	平均绝对偏差
基本成分	0.0432	0.962	0.0321
氧化产物	0.0517	0.937	0.0415
整体	0.0478	0.951	0.0371

: 交叉验证预测性能指标

两类模型在留出两个时间点的严苛测试下 R2R^2R2 均超过 0.93，RMSE 低于 0.06（归一化尺度），证明了模型稳健的外推能力。

Sobol 全局灵敏度分析

为识别控制动力学输出的关键参数，对模型输出 Y=g(X)Y=g(\mathbf{X})Y=g(X) 进行基于方差的 Sobol 分解。在输入独立假设下，总方差可正交分解为各阶效应之和 V=∑iVi+∑i<jVij+⋯V=\sum_i V_i + \sum_{i<j}V_{ij}+\cdotsV=∑iVi+∑i<jVij+⋯。一阶指数 Si=Vi/VS_i=V_i/VSi=Vi/V 衡量单独贡献，总效应指数 STi=1−V∼i/VS_{T_i}=1-V_{\sim i}/VSTi=1−V∼i/V 包含全部交互贡献。采用 Saltelli 序列估计 SiS_iSi 与 STiS_{T_i}STi。

参数	一阶指数 SiS_iSi	总效应指数 STiS_{T_i}STi
C0C_0C0	0.008	0.021
kkk	0.972	0.983

: 基本成分衰减模型 Sobol 指数（输出：半衰期 t1/2t_{1/2}t1/2）

结果显示半衰期几乎完全由降解速率常数 kkk 控制（STk≈0.98S_{T_k}\approx 0.98STk≈0.98），初始浓度 C0C_0C0 的影响可忽略，完全符合一级动力学的解析结构。这一结论为模型简化与参数调优提供了明确依据。

热图中色块强度编码了不同动力学参数对多种模型输出的全局敏感度，深色区域直观标出高敏感性参数，为后续实验设计与过程优化提供了量化决策支持。

【一等奖版】2026 金地杯 C题 核桃油品质分析

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