欧拉回路（一笔画）

欧拉回路 是图论中的一个经典概念，指一条经过图中每条边恰好一次并且起点和终点相同的闭合路径。通俗地讲，就是一笔画问题中能够不重复地走完所有边并回到起点的画法。

基本定义

欧拉回路：经过图中每条边恰好一次且闭合的回路。
欧拉通路：经过每条边恰好一次但不闭合的路径（起点和终点不同）。
欧拉图：具有欧拉回路的图称为欧拉图。

判定定理

无向图

一个连通无向图存在欧拉回路 当且仅当 图中所有顶点的度数均为偶数。

一个连通无向图存在欧拉通路（不闭合） 当且仅当 图中恰好有 0 个或 2 个奇度数顶点。若有 2 个，则它们分别为起点和终点。

有向图

一个有向图存在欧拉回路 当且仅当 图是强连通的（或忽略方向后连通，且各顶点在同一个弱连通分量中），并且每个顶点的入度等于出度。

一个有向图存在欧拉通路 当且仅当 最多只有一个顶点的出度 - 入度 = 1（起点），最多一个顶点的入度 - 出度 = 1（终点），其余顶点入度等于出度，且图是弱连通的。

常见算法

Hierholzer 算法（推荐，O(E)）

从起点开始深度优先搜索。
沿着边走，每走一条边就将其删除（或标记已用）。
当当前节点没有未使用的边时，将该节点压入栈中，并回溯。
最后将栈逆序输出，即得到欧拉回路/通路。

核心代码（无向图示例）：

cpp

复制代码

vector<int> path;
void dfs(int u) {
    while (!graph[u].empty()) {
        int v = graph[u].top(); // 取一条边
        graph[u].pop();          // 删除该边
        dfs(v);
    }
    path.push_back(u); // 后序记录
}
// 最后 reverse(path.begin(), path.end()) 得到正确顺序

Fleury 算法

每次选择桥边之前需要判断是否破坏图的连通性，效率较低（O(E²)），一般不推荐。

应用场景

邮路问题（中国邮递员问题）：在带权图中寻找最短闭合路径覆盖所有边。
DNA 片段拼接：将 DNA 片段视为边，重叠部分视为节点，寻找欧拉路径完成拼接。
电路布线 、言语路径等。

示例验证

无向图：正方形四个顶点（每个顶点度数为 2），存在欧拉回路，如 A→B→C→D→A。

有向图：下图是否存在欧拉回路？

A→B, B→C, C→A, A→C

度数检查：A(出2入1), B(出1入1), C(出1入1) → 入度≠出度 → 无欧拉回路，但存在欧拉通路（从 A 到 C）。

例题

332. 重新安排行程 - 力扣（LeetCode）正是求有向图的欧拉通路（起点固定为 "JFK"），并要求字典序最小。使用 Hierholzer 算法 + 优先队列（或 multiset）即可高效解决。