力扣算法刷题 Day 63 Bellman_ford 算法

队列优化

Bellman_ford 朴素算法在每一轮操作中对所有边进行松弛是不必要的。只需要对上一轮更新过的边进行计算就好，因此我们定义一个队列，初始化只有出发节点，之后其中为当前轮次加入的队列。

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;

struct Edge { //邻接表
   int to;  // 链接的节点
   int val; // 边的权重

   Edge(int t, int w): to(t), val(w) {}  // 构造函数
};


int main() {
   int n, m, p1, p2, val;
   cin >> n >> m;

   vector<list<Edge>> grid(n + 1); 

   vector<bool> isInQueue(n + 1); // 加入优化，已经在队里里的元素不用重复添加

   // 将所有边保存起来
   for(int i = 0; i < m; i++){
       cin >> p1 >> p2 >> val;
       // p1 指向 p2，权值为 val
       grid[p1].push_back(Edge(p2, val));
   }
   int start = 1;  // 起点
   int end = n;    // 终点

   vector<int> minDist(n + 1 , INT_MAX);
   minDist[start] = 0;

   queue<int> que;
   que.push(start); 

   while (!que.empty()) {

       int node = que.front(); que.pop();
       isInQueue[node] = false; // 从队列里取出的时候，要取消标记，我们只保证已经在队列里的元素不用重复加入
       for (Edge edge : grid[node]) {
           int from = node;
           int to = edge.to;
           int value = edge.val;
           if (minDist[to] > minDist[from] + value) { // 开始松弛
               minDist[to] = minDist[from] + value; 
               if (isInQueue[to] == false) { // 已经在队列里的元素不用重复添加
                   que.push(to);
                   isInQueue[to] = true;
               }
           }
       }

   }
   if (minDist[end] == INT_MAX) cout << "unconnected" << endl; // 不能到达终点
   else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}

负权回路判断

松弛第n次如果minDist数组发生变化，则说明存在负权回路。正常情况下第N-1次即已经完成。

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;

int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> grid;

    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        // p1 指向 p2，权值为 val
        grid.push_back({p1, p2, val});

    }
    int start = 1;  // 起点
    int end = n;    // 终点

    vector<int> minDist(n + 1 , INT_MAX);
    minDist[start] = 0;
    bool flag = false;
    for (int i = 1; i <= n; i++) { // 这里我们松弛n次，最后一次判断负权回路
        for (vector<int> &side : grid) {
            int from = side[0];
            int to = side[1];
            int price = side[2];
            if (i < n) {
                if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price) minDist[to] = minDist[from] + price;
            } else { // 多加一次松弛判断负权回路
                if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price) flag = true;

            }
        }

    }

    if (flag) cout << "circle" << endl;
    else if (minDist[end] == INT_MAX) {
        cout << "unconnected" << endl;
    } else {
        cout << minDist[end] << endl;
    }
}

单源，限制经过边的条数

设最多经过k个节点，则共k+2个节点。那么我们松弛k+1次就好。此外，还需要基于上一次松弛的结果来更新当前轮次松弛的结果，这样才能真正的限制。

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;

int main() {
    int src, dst,k ,p1, p2, val ,m , n;
    
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> grid;

    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        grid.push_back({p1, p2, val});
    }

    cin >> src >> dst >> k;

    vector<int> minDist(n + 1 , INT_MAX);
    minDist[src] = 0;
    vector<int> minDist_copy(n + 1); // 用来记录上一次遍历的结果
    for (int i = 1; i <= k + 1; i++) {
        minDist_copy = minDist; // 获取上一次计算的结果
        for (vector<int> &side : grid) {
            int from = side[0];
            int to = side[1];
            int price = side[2];
            // 注意使用 minDist_copy 来计算 minDist 
            if (minDist_copy[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist_copy[from] + price) {  
                minDist[to] = minDist_copy[from] + price;
            }
        }
    }
    if (minDist[dst] == INT_MAX) cout << "unreachable" << endl; // 不能到达终点
    else cout << minDist[dst] << endl; // 到达终点最短路径

}