算法20，x的平方根

笔记记录了经典的**"二分查找求平方根"** 问题。这是二分查找算法在非有序数组场景下的一个重要变种 ，核心是利用数学函数的单调性来应用二分法。

以下是对该笔记内容的详细解析和标准代码实现：

1. 算法原理

对于一个非负整数 x，其平方根函数 f(k)=k2在 k≥0的区间内是单调递增的。

单调性：如果 k1<k2，那么 k12<k22。
二段性 ：我们可以在区间 $1,x$ 上查找，对于任意中间值 mid：
- 如果 mid * mid <= x：说明平方根在 [mid, x]之间（或者 mid就是答案，需尝试更大的值看是否有更接近的）。
- 如果 mid * mid > x：说明平方根一定在 [1, mid - 1]之间。

2. 笔记关键点解析

边界条件 ：if(x < 1) return 0;。这是为了处理 x=0的情况，防止后续 right=x导致死循环或越界。
搜索区间 ：left = 1, right = x。对于 x≥1，其平方根不会超过 x本身。
防溢出技巧：
- 笔记中使用了 long mid = ...。
- 原因：在计算 mid * mid时，如果 x接近整型最大值（约 21 亿），mid约为 10 万，mid * mid将达到 100 亿，远超 int的范围（约 21 亿），导致整数溢出 ，计算结果变为负数从而出错。使用 long类型可以完美规避这个问题。

3. 代码实现（Java）

复制代码

public class SqrtX {
    public int mySqrt(int x) {
        // 特殊情况处理：0的平方根是0
        if (x < 1) return 0;
        
        // 定义搜索区间 [left, right]
        int left = 1;
        int right = x;
        
        while (left <= right) {
            // 计算 mid，使用 long 防止乘法溢出，使用 left + (right - left) / 2 防止加法溢出
            long mid = left + (right - left) / 2;
            
            long square = mid * mid;
            
            if (square == x) {
                // 正好找到完全平方数
                return (int) mid;
            } else if (square < x) {
                // 平方小于 x，说明平方根在右边，尝试更大的数
                left = (int) mid + 1;
            } else {
                // 平方大于 x，说明平方根在左边
                right = (int) mid - 1;
            }
        }
        
        // 循环结束时，left > right。
        // 此时 right 指向的是平方小于等于 x 的最大整数（即向下取整的结果）。
        // 举例：x=8, 循环结束时 right=2, left=3。返回 right。
        return right;
    }
}

4. 进阶：牛顿迭代法（拓展）

虽然二分查找是该题的标准解法，但计算机科学中求解平方根更高效的算法是牛顿迭代法（Newton's Method）。它的收敛速度比二分查找更快（二次收敛）。

核心思想：通过不断作切线来逼近方程 f(k)=k2−x=0的根。

迭代公式：kn+1=21(kn+knx)

复制代码

public int mySqrtNewton(int x) {
    if (x == 0) return 0;
    double C = x;
    double x0 = x;
    while (true) {
        // 牛顿迭代公式
        double xi = 0.5 * (x0 + C / x0);
        // 如果变化量极小，认为已经收敛到精确解
        if (Math.abs(xi - x0) < 1e-7) break;
        x0 = xi;
    }
    return (int) x0;
}