647. 回文子串
动规五部曲
**dp数组含义：**dp[i][j]代表s[i,j]是否是回文子串，true或者false；
**递推公式：**当s[i]==s[j]相等，则需要看j和i差多少，要是差的值不超过2，则一定是回文子串；
如果差的值超过了2，则需要看dp[i+1][j-1]，也就是区间左右缩减，看里面是不是回文子串，如果里面是，外面也一定是回文子串，如果里面不是外面也不是；
当s[i]和s[j]不相等，一定不是，直接false（初始化时已覆盖，该逻辑可以不写）;
**初始化：**全部初始化为false即可，也就是默认全部都不是回文子串，通过逻辑一个个判别。
**遍历顺序：**由于递推公式方向是从右下到左上，所以是i是倒序遍历，j是顺序遍历，由于要组成区间，j>=i，所以j从i开始遍历；
cpp
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
vector<vector<bool>> dp(s.size(),vector<bool>(s.size(),false));
int result = 0;
for(int i=s.size()-1; i>=0;i--){
for(int j=i;j<s.size();j++){
if(s[i]==s[j]){
if(j-i<=1){
dp[i][j] = true;
result++;
}else{
if(dp[i+1][j-1] ==true){
dp[i][j] = true;
result++;
}
}
}
}
}
return result;
}
};516.最长回文子序列
动规五部曲
**dp数组含义：**dp[i][j]代表s[i,j]中的最长回文子序列长度；
**递推公式：**当s[i]==s[j]相等，则直接在dp[i+1][j-1]的基础上+2。因为对回文串两边加上一样的元素，还是回文子串，并且长度加了2；
当s[i]和s[j]不相等，左右可以尝试删除某一个，看删除哪个之后最长回文子序列长度最大，也就是max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])
初始化： 由于递推是从左下到右上，左到右，下到上 三个方向递推，而且j是大于等于i 的，所以也就是右上半区域 ，所以最基础的情况就是对角线，所以要初始化对角线，也就是初始化单元素情况，全为1即可。
遍历顺序： 由于递推方向左下到右上，左到右，下到上可得出和上题相同，i倒序遍历，j顺序遍历
cpp
class Solution {
public:
int longestPalindromeSubseq(string s) {
vector<vector<int>> dp(s.size(),vector<int>(s.size(),0));
for(int i=0;i<s.size();i++) dp[i][i] =1;
for(int i=s.size()-1; i>=0;i--){
for(int j=i+1;j<s.size();j++){
if(s[i]==s[j]){
dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2;
}else{
dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i][j-1]);
}
}
}
return dp[0][s.size()-1];
}
};动态规划总结
动态规划章节学习了背包问题、打家劫舍问题、股票问题、子序列问题（包括编辑距离、回文子串）
背包问题：抓住"物品能用几次"和"求什么"
背包问题先判断物品能不能重复使用。物品只能用一次，是 01 背包；物品可以重复使用，是完全背包。二维写法更直观，一维写法更常用，但一维写法必须特别注意遍历顺序。
01 背包一维递推通常是：
cpp
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);因为每个物品只能用一次，所以背包容量 j 必须倒序遍历，避免同一个物品在本轮被重复使用。像 416、1049 本质都是 01 背包，只是value和weight可能都等于物品重量，目标是尽量装满某个容量。
完全背包的递推形式类似，但因为物品可以重复使用，所以容量通常正序遍历。若题目问组合数，例如 518 零钱兑换 II，要先遍历物品、再遍历背包，这样不会把不同顺序重复计算；若题目问排列数，例如 377 组合总和 IV，要先遍历背包、再遍历物品，这样不同顺序会被当成不同方案。
如果题目问最少个数，例如 322 零钱兑换、279 完全平方数，常见递推是：
cpp
dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1);这类题重点不是方案数，而是"最小代价"，所以初始化要特别注意：dp[0]=0，其他位置通常初始化为较大值，表示暂时不可达。
打家劫舍：本质是"当前取不取"
打家劫舍系列的核心判断是：当前位置偷，还是不偷。
198 是线性数组，递推很直接：
cpp
dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);意思是第i家不偷，则继承i-1的结果；第 i 家偷，则必须加上i-2的结果。
213 是环形数组，因为首尾不能同时偷，所以拆成两个线性问题：不考虑最后一家，或者不考虑第一家，分别跑一次 198 的逻辑，最后取最大值。
337 是树形打家劫舍，不能再按数组顺序递推，而是用后序遍历。每个节点维护两个状态：偷当前节点、不偷当前节点。偷当前节点时，左右孩子不能偷；不偷当前节点时，左右孩子可以偷也可以不偷，取各自最大值。
股票问题：核心是"第几次交易"和"是否持有"
股票系列不要死记代码，先定义状态。最常见的状态是：第i天，当前是否持有股票，以及已经完成了几次交易。
121 只能买卖一次，维护最低买入价格即可，也可以写成两个状态：持有、不持有。
122 可以买卖无限次，只要上涨就可以累加利润。用动态规划时也是两个状态：持有股票和不持有股票。
123 最多买卖两次，可以扩展成五个状态：无操作、第一次持有、第一次不持有、第二次持有、第二次不持有。
188 最多买卖 k 次，本质是把 123 的状态推广到2k+1个状态。奇数状态通常表示持有，偶数状态表示卖出后不持有。
309 加入冷冻期后，不持有状态要进一步拆开，例如：保持不持有、今天卖出、冷冻期。区别在于今天能不能买入。
714 加入手续费后，本质仍然是持有和不持有，只是在买入或卖出时扣手续费即可。
子序列问题：区分"连续"和"不连续"
子序列问题最容易混的是：连续子数组、普通子序列、编辑距离、回文子序列。判断标准是：题目是否要求连续。
最长连续公共子数组，例如 718，要求连续，所以如果两个元素不相等，当前连续长度直接断掉，不从左边或上边取最大值。递推通常是：
cpp
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1])
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;最长公共子序列，例如 1143，不要求连续，所以不相等时要继承前面的最优结果：
cpp
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);判断子序列，例如 392，本质是看短字符串能不能被长字符串匹配出来。因为只能在长字符串中跳过字符，所以不匹配时通常继承 dp[i][j - 1]，而不是像 LCS 那样两边都取最大。
编辑距离类题目，例如 583、72，要围绕"增、删、改"来理解。583 只允许删除，所以本质是让两个字符串变成相同；72 可以增删改，所以状态转移更完整。
回文类题目要注意遍历方向。516 最长回文子序列中，dp[i][j] 表示区间 [i, j] 内的最长回文子序列长度。因为它依赖 dp[i + 1][j - 1]、dp[i + 1][j]、dp[i][j - 1]，所以 i 要从后往前遍历，j 从 i + 1 往后遍历。对角线 dp[i][i] = 1，因为单个字符本身就是长度为 1 的回文子序列。
总结：动态规划的主线
动态规划不是背公式，而是先定义状态，再让状态之间发生转移。
背包问题看"物品使用次数"和"组合/排列/最值"；打家劫舍看"偷不偷"；股票问题看"持有状态和交易次数"；子序列问题看"是否连续、是否允许编辑、区间如何缩小"。
只要dp含义、递推公式、初始化、遍历顺序能互相解释，代码就能搞定。