先来看一道题：
一条斜率已知的直线交椭圆于 A, B 两点，平面内有一定点 T，TA, TB 再次交椭圆于 C, D 两点，请问 "CD 直线过定点或斜率为定值" 正确吗？若正确，求定点/斜率。
拿到问题后，按照国内教育方法，常规思路就是分类，套套路，找定量，如果见过类似题目，就能秒解，如果没见过，想一个月都白搭。基本上就是用背诗的方法解数学题。
所以说这是解题，而不是思考。
我一向对解析几何持两面态度，既觉得它提高了效率，又觉得它让人变傻，它让一个毫无思考能力但拥有蛮力的一根筋都能解决数学难题，但这就是解析几何的现代力量。
为呈现这一点，我花了比平时多的时间写了本文，展示如何用解析几何暴力解决这问题。我假设我不懂射影几何，不懂配极定理，也不懂调和点列，虽然我知道用这些能秒解此题，但为展示解析几何的力量，我假装只会硬算。
硬算过程中，我借助了 AI，这也正是所谓 "现代力量" 的体现，就像弩机相对弓弩不依赖臂力，正是这种同构的 "现代力量" 让列装弩机的秦军可全民皆兵扫六国，借助 AI，仿佛借弩机上弦。
但思路是我自己的，即使硬算也要讲技巧，以节约算力，中间变量，设而不求，韦达定理，等价代换，我来想怎么算，AI 来算，这就是现代。
我假装没有前置几何知识，也没能力通过定理去证明什么，我只会肉眼观测，看它到底过哪个定点，然后通过不依赖智商和灵感的纯粹现代力量借助 AI 将它算出来。
为了观察它到底过不过定点，我需要一个动态过程，而这同样由现代工具提供，我用 geogebra 生成一个动态的图，一眼就看出来定点在哪里：
E 点显然就是那个定点，辅助线是我看到那个点 E 和 O 以及 AB 的关系后简单猜出来的，最后我要求证我的猜想。
这只需要眼力即可，如果在古代，就需要极高的智商去猜，然后小小翼翼去求证，如今，借助现代工具简单观测就能看出结果，剩下只是大力出奇迹般的计算证实这结果别无二样，这就是现代。
命题陈述
已知椭圆 F(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0F(x,y) = Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0F(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，椭圆外一点 O(x0,y0)O(x_0,y_0)O(x0,y0)，过 O 作两条割线 L1,L2L_1, L_2L1,L2，分别交椭圆于 P1,P2P_1, P_2P1,P2 和 Q1,Q2Q_1, Q_2Q1,Q2。
设直线 P1Q1P_1Q_1P1Q1 的斜率为定值 k，截距为 m（即方程为 y=kx+my=kx+my=kx+m）。过点 O 作与 P1Q1P_1Q_1P1Q1 平行的直线 L。
求证：直线 P2Q2P_2Q_2P2Q2 与直线 LLL 的交点 TTT 是一个与 m 无关的定点。
1. 建立参数方程与韦达定理
设过点 O(x0,y0)O(x_0, y_0)O(x0,y0) 的两条割线, L1,L2L_1, L_2L1,L2 的方向向量分别为 (u1,v1)(u_1, v_1)(u1,v1) 和 (u2,v2)(u_2, v_2)(u2,v2)。
它们的参数方程分别为：
L1:{x=x0+u1ty=y0+v1tL_1: \begin{cases} x = x_0 + u_1 t \\ y = y_0 + v_1 t \end{cases}L1:{x=x0+u1ty=y0+v1t，与椭圆交于 P1(t1),P2(t2)P_1(t_1), P_2(t_2)P1(t1),P2(t2)
L2:{x=x0+u2sy=y0+v2sL_2: \begin{cases} x = x_0 + u_2 s \\ y = y_0 + v_2 s \end{cases}L2:{x=x0+u2sy=y0+v2s，与椭圆交于 Q1(s1),Q2(s2)Q_1(s_1), Q_2(s_2)Q1(s1),Q2(s2)
将 L1L_1L1 代入椭圆方程，整理得关于 t 的二次方程：
α1t2+β1t+γ=0\alpha_1 t^2 + \beta_1 t + \gamma = 0α1t2+β1t+γ=0
其中 α1=Au12+Bu1v1+Cv12,γ=F(x0,y0)\alpha_1 = Au_1^2 + Bu_1v_1 + Cv_1^2,\gamma = F(x_0, y_0)α1=Au12+Bu1v1+Cv12,γ=F(x0,y0)。
由韦达定理：
t1t2=γα1 ⟹ t2=γα1t1t_1 t_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha_1} \implies t_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha_1 t_1}t1t2=α1γ⟹t2=α1t1γ
将 L2L_2L2 代入椭圆方程，整理得关于 s 的二次方程：
α2s2+β2s+γ=0\alpha_2 s^2 + \beta_2 s + \gamma = 0α2s2+β2s+γ=0
其中 α2=Au22+Bu2v2+Cv22\alpha_2 = Au_2^2 + Bu_2v_2 + Cv_2^2α2=Au22+Bu2v2+Cv22.
由韦达定理：
s1s2=γα2 ⟹ s2=γα2s1s_1 s_2 = \frac{\gamma}{\alpha_2} \implies s_2 = \frac{\gamma}{\alpha_2 s_1}s1s2=α2γ⟹s2=α2s1γ
2. 建立直线方程的代数关系
直线 P1Q1P_1Q_1P1Q1 的方程为 y=kx+my = kx + my=kx+m.
点 P1(x0+u1t1,y0+v1t1)P_1(x_0+u_1t_1, y_0+v_1t_1)P1(x0+u1t1,y0+v1t1) 和 Q1(x0+u2s1,y0+v2s1)Q_1(x_0+u_2s_1, y_0+v_2s_1)Q1(x0+u2s1,y0+v2s1) 在该直线上，代入得：
y0+v1t1=k(x0+u1t1)+m ⟹ t1(v1−ku1)=kx0+m−y0y_0 + v_1 t_1 = k(x_0 + u_1 t_1) + m \implies t_1(v_1 - ku_1) = kx_0 + m - y_0y0+v1t1=k(x0+u1t1)+m⟹t1(v1−ku1)=kx0+m−y0
y0+v2s1=k(x0+u2s1)+m ⟹ s1(v2−ku2)=kx0+m−y0y_0 + v_2 s_1 = k(x_0 + u_2 s_1) + m \implies s_1(v_2 - ku_2) = kx_0 + m - y_0y0+v2s1=k(x0+u2s1)+m⟹s1(v2−ku2)=kx0+m−y0
令常数 K=kx0+m−y0K = kx_0 + m - y_0K=kx0+m−y0，则有：
t1(v1−ku1)=K⋯(1)t_1(v_1 - ku_1) = K \quad \cdots(1)t1(v1−ku1)=K⋯(1)
s1(v2−ku2)=K⋯(2)s_1(v_2 - ku_2) = K \quad \cdots(2)s1(v2−ku2)=K⋯(2)
设直线 P2Q2P_2Q_2P2Q2 的方程为 y=k′x+m′y = k'x + m'y=k′x+m′。
同理，点 P2(x0+u1t2,y0+v1t2)P_2(x_0+u_1t_2, y_0+v_1t_2)P2(x0+u1t2,y0+v1t2) 和 Q2(x0+u2s2,y0+v2s2)Q_2(x_0+u_2s_2, y_0+v_2s_2)Q2(x0+u2s2,y0+v2s2) 在该直线上，令 K′=k′x0+m′−y0K' = k'x_0 + m' - y_0K′=k′x0+m′−y0，则有：
t2(v1−k′u1)=K′⋯(3)t_2(v_1 - k'u_1) = K' \quad \cdots(3)t2(v1−k′u1)=K′⋯(3)
s2(v2−k′u2)=K′⋯(4)s_2(v_2 - k'u_2) = K' \quad \cdots(4)s2(v2−k′u2)=K′⋯(4)
3. 求解交点 T 的横坐标 xTx_TxT
直线 L 过点 O(x0,y0)O(x_0, y_0)O(x0,y0) 且平行于 P1Q1P_1Q_1P1Q1，故其方程为 y−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0)y−y0=k(x−x0)，即 y=kx+y0−kx0y = kx + y_0 - kx_0y=kx+y0−kx0.
交点 T(xT,yT)T(x_T, y_T)T(xT,yT) 既在 L 上，也在 P2Q2P_2Q_2P2Q2 (y=k′x+m′y=k'x+m'y=k′x+m′) 上。联立得：
kxT+y0−kx0=k′xT+m′kx_T + y_0 - kx_0 = k'x_T + m'kxT+y0−kx0=k′xT+m′
(k−k′)xT=m′−y0+kx0(k - k')x_T = m' - y_0 + kx_0(k−k′)xT=m′−y0+kx0
注意到 K′=k′x0+m′−y0K' = k'x_0 + m' - y_0K′=k′x0+m′−y0，故 m′−y0+kx0=K′+x0(k−k′)m' - y_0 + kx_0 = K' + x_0(k - k')m′−y0+kx0=K′+x0(k−k′)。
代入上式：
(k−k′)xT=K′+x0(k−k′)(k - k')x_T = K' + x_0(k - k')(k−k′)xT=K′+x0(k−k′)
解得：
xT=K′k−k′+x0⋯(5)x_T = \dfrac{K'}{k - k'} + x_0 \quad \cdots(5)xT=k−k′K′+x0⋯(5)
4. 寻找 K 与 K' 的关系
由 (1)(3) 得:
v1−ku1=Kt1,v1−k′u1=K′t2v_1 - ku_1 = \dfrac{K}{t_1}, \quad v_1 - k'u_1 = \dfrac{K'}{t_2}v1−ku1=t1K,v1−k′u1=t2K′
两式相减：
u1(k′−k)=K′t2−Kt1 ⟹ k−k′=1u1(Kt1−K′t2)u_1(k' - k) = \dfrac{K'}{t_2} - \dfrac{K}{t_1} \implies k - k' = \dfrac{1}{u_1}(\dfrac{K}{t_1} - \dfrac{K'}{t_2})u1(k′−k)=t2K′−t1K⟹k−k′=u11(t1K−t2K′)
同理，由 (2)(4) 得：
k−k′=1u2(Ks1−K′s2)k - k' = \dfrac{1}{u_2}(\dfrac{K}{s_1} - \dfrac{K'}{s_2})k−k′=u21(s1K−s2K′)
联立上述两式消去 k−k′k-k'k−k′：
1u1(Kt1−K′t2)=1u2(Ks1−K′s2)\dfrac{1}{u_1}(\dfrac{K}{t_1} - \dfrac{K'}{t_2}) = \dfrac{1}{u_2}(\dfrac{K}{s_1} - \dfrac{K'}{s_2})u11(t1K−t2K′)=u21(s1K−s2K′)
两边同乘 u1u2u_1 u_2u1u2：
u2(Kt1−K′t2)=u1(Ks1−K′s2)u_2(\dfrac{K}{t_1} - \dfrac{K'}{t_2}) = u_1(\dfrac{K}{s_1} - \dfrac{K'}{s_2})u2(t1K−t2K′)=u1(s1K−s2K′)
展开括号：
u2Kt1−u2K′t2=u1Ks1−u1K′s2\dfrac{u_2 K}{t_1} - \dfrac{u_2 K'}{t_2} = \dfrac{u_1 K}{s_1} - \dfrac{u_1 K'}{s_2}t1u2K−t2u2K′=s1u1K−s2u1K′
将含 K 的项移到左边，含 K' 的项移到右边：
u2Kt1−u1Ks1=u2K′t2−u1K′s2\dfrac{u_2 K}{t_1} - \dfrac{u_1 K}{s_1} = \dfrac{u_2 K'}{t_2} - \dfrac{u_1 K'}{s_2}t1u2K−s1u1K=t2u2K′−s2u1K′
提取公因式：
K(u2t1−u1s1)=K′(u2t2−u1s2)K(\dfrac{u_2}{t_1} - \dfrac{u_1}{s_1}) = K'(\dfrac{u_2}{t_2} - \dfrac{u_1}{s_2})K(t1u2−s1u1)=K′(t2u2−s2u1)
从而得到比值：
KK′=u2t2−u1s2u2t1−u1s1⋯(6)\dfrac{K}{K'} = \dfrac{\dfrac{u_2}{t_2} - \dfrac{u_1}{s_2}}{\dfrac{u_2}{t_1} - \dfrac{u_1}{s_1}} \quad \cdots(6)K′K=t1u2−s1u1t2u2−s2u1⋯(6)
5. 化简 xTx_TxT 的表达式
将 k−k′k-k'k−k′ 的表达式代入 (5)：
xT=K′1u1(Kt1−K′t2)+x0=u1K′t1t2K′t1−Kt2+x0x_T = \dfrac{K'}{\dfrac{1}{u_1}(\dfrac{K}{t_1} - \dfrac{K'}{t_2})} + x_0 = \dfrac{u_1 K' t_1 t_2}{K' t_1 - K t_2} + x_0xT=u11(t1K−t2K′)K′+x0=K′t1−Kt2u1K′t1t2+x0
分子分母同除以 K'：
xT=u1t1t2t1−KK′t2+x0x_T = \dfrac{u_1 t_1 t_2}{t_1 - \dfrac{K}{K'} t_2} + x_0xT=t1−K′Kt2u1t1t2+x0
将 (6) 中的 KK′\dfrac{K}{K'}K′K 代入：
xT=u1t1t2t1−t2⋅u2t2−u1s2u2t1−u1s1+x0x_T = \dfrac{u_1 t_1 t_2}{t_1 - t_2 \cdot \dfrac{\frac{u_2}{t_2} - \frac{u_1}{s_2}}{\frac{u_2}{t_1} - \frac{u_1}{s_1}}} + x_0xT=t1−t2⋅t1u2−s1u1t2u2−s2u1u1t1t2+x0
先化简分母中的繁分式部分：
分母=t1−t2(u2t2−u1s2)u2t1−u1s1=t1−u2−u1t2s2u2t1−u1s1分母= t_1 - \dfrac{t_2(\dfrac{u_2}{t_2} - \dfrac{u_1}{s_2})}{\dfrac{u_2}{t_1} - \dfrac{u_1}{s_1}} = t_1 - \dfrac{u_2 - \dfrac{u_1 t_2}{s_2}}{\dfrac{u_2}{t_1} - \dfrac{u_1}{s_1}}分母=t1−t1u2−s1u1t2(t2u2−s2u1)=t1−t1u2−s1u1u2−s2u1t2
通分：
t1(u2t1−u1s1)−(u2−u1t2s2)u2t1−u1s1=u2−u1t1s1−u2+u1t2s2u2t1−u1s1=u1(t2s2−t1s1)u2t1−u1s1\dfrac{t_1(\dfrac{u_2}{t_1} - \dfrac{u_1}{s_1}) - (u_2 - \dfrac{u_1 t_2}{s_2})}{\dfrac{u_2}{t_1} - \dfrac{u_1}{s_1}} = \dfrac{u_2 - \dfrac{u_1 t_1}{s_1} - u_2 + \dfrac{u_1 t_2}{s_2}}{\dfrac{u_2}{t_1} - \dfrac{u_1}{s_1}} = \dfrac{u_1(\dfrac{t_2}{s_2} - \dfrac{t_1}{s_1})}{\dfrac{u_2}{t_1} - \dfrac{u_1}{s_1}}t1u2−s1u1t1(t1u2−s1u1)−(u2−s2u1t2)=t1u2−s1u1u2−s1u1t1−u2+s2u1t2=t1u2−s1u1u1(s2t2−s1t1)
代回 xTx_TxT 的表达式：
xT=u1t1t2u1(t2s2−t1s1)u2t1−u1s1+x0=u1t1t2⋅u2t1−u1s1u1(t2s2−t1s1)+x0x_T = \dfrac{u_1 t_1 t_2}{\dfrac{u_1(\frac{t_2}{s_2} - \frac{t_1}{s_1})}{\frac{u_2}{t_1} - \frac{u_1}{s_1}}} + x_0 = u_1 t_1 t_2 \cdot \dfrac{\dfrac{u_2}{t_1} - \dfrac{u_1}{s_1}}{u_1(\dfrac{t_2}{s_2} - \dfrac{t_1}{s_1})} + x_0xT=t1u2−s1u1u1(s2t2−s1t1)u1t1t2+x0=u1t1t2⋅u1(s2t2−s1t1)t1u2−s1u1+x0
消去 u1u_1u1，并整理繁分式：
xT=t1t2⋅u2s1−u1t1t1s1t2s1−t1s2s1s2+x0=t1t2⋅u2s1−u1t1t1s1⋅s1s2t2s1−t1s2+x0x_T = t_1 t_2 \cdot \dfrac{\dfrac{u_2 s_1 - u_1 t_1}{t_1 s_1}}{\dfrac{t_2 s_1 - t_1 s_2}{s_1 s_2}} + x_0 = t_1 t_2 \cdot \dfrac{u_2 s_1 - u_1 t_1}{t_1 s_1} \cdot \dfrac{s_1 s_2}{t_2 s_1 - t_1 s_2} + x_0xT=t1t2⋅s1s2t2s1−t1s2t1s1u2s1−u1t1+x0=t1t2⋅t1s1u2s1−u1t1⋅t2s1−t1s2s1s2+x0
消去 t1t_1t1 和 s1s_1s1：
xT=t2s2⋅u2s1−u1t1t2s1−t1s2+x0⋯(7)x_T = t_2 s_2 \cdot \dfrac{u_2 s_1 - u_1 t_1}{t_2 s_1 - t_1 s_2} + x_0 \quad \cdots(7)xT=t2s2⋅t2s1−t1s2u2s1−u1t1+x0⋯(7)
6. 利用韦达定理与椭圆性质消元
将 t2=γα1t1,s2=γα2s1t_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha_1 t_1}, s_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha_2 s_1}t2=α1t1γ,s2=α2s1γ 代入 (7) 的分式部分：
分子=t2s2(u2s1−u1t1)=γα1t1⋅γα2s1(u2s1−u1t1)=γ2α1α2t1s1(u2s1−u1t1)分子= t_2 s_2 (u_2 s_1 - u_1 t_1) = \dfrac{\gamma}{\alpha_1 t_1} \cdot \dfrac{\gamma}{\alpha_2 s_1} (u_2 s_1 - u_1 t_1) = \dfrac{\gamma^2}{\alpha_1 \alpha_2 t_1 s_1}(u_2 s_1 - u_1 t_1)分子=t2s2(u2s1−u1t1)=α1t1γ⋅α2s1γ(u2s1−u1t1)=α1α2t1s1γ2(u2s1−u1t1)
分母=t2s1−t1s2=γα1t1s1−t1γα2s1=γ(s1α1t1−t1α2s1)=γα2s12−α1t12α1α2t1s1分母= t_2 s_1 - t_1 s_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha_1 t_1} s_1 - t_1 \dfrac{\gamma}{\alpha_2 s_1} = \gamma (\dfrac{s_1}{\alpha_1 t_1} - \dfrac{t_1}{\alpha_2 s_1}) = \gamma \dfrac{\alpha_2 s_1^2 - \alpha_1 t_1^2}{\alpha_1 \alpha_2 t_1 s_1}分母=t2s1−t1s2=α1t1γs1−t1α2s1γ=γ(α1t1s1−α2s1t1)=γα1α2t1s1α2s12−α1t12
分子除以分母：
分子分母=γ2α1α2t1s1(u2s1−u1t1)γα1α2t1s1(α2s12−α1t12)=γ⋅u2s1−u1t1α2s12−α1t12\dfrac{\text{分子}}{\text{分母}} = \dfrac{\dfrac{\gamma^2}{\alpha_1 \alpha_2 t_1 s_1}(u_2 s_1 - u_1 t_1)}{\dfrac{\gamma}{\alpha_1 \alpha_2 t_1 s_1}(\alpha_2 s_1^2 - \alpha_1 t_1^2)} = \gamma \cdot \dfrac{u_2 s_1 - u_1 t_1}{\alpha_2 s_1^2 - \alpha_1 t_1^2}分母分子=α1α2t1s1γ(α2s12−α1t12)α1α2t1s1γ2(u2s1−u1t1)=γ⋅α2s12−α1t12u2s1−u1t1
于是：
xT−x0=γ⋅u2s1−u1t1α2s12−α1t12x_T - x_0 = \gamma \cdot \dfrac{u_2 s_1 - u_1 t_1}{\alpha_2 s_1^2 - \alpha_1 t_1^2}xT−x0=γ⋅α2s12−α1t12u2s1−u1t1
由于 P1,Q1P_1, Q_1P1,Q1 在椭圆上，满足 α1t12+β1t1+γ=0\alpha_1 t_1^2 + \beta_1 t_1 + \gamma = 0α1t12+β1t1+γ=0 和 α2s12+β2s1+γ=0\alpha_2 s_1^2 + \beta_2 s_1 + \gamma = 0α2s12+β2s1+γ=0。
故分母 α2s12−α1t12=(−β2s1−γ)−(−β1t1−γ)=β1t1−β2s1\alpha_2 s_1^2 - \alpha_1 t_1^2 = (-\beta_2 s_1 - \gamma) - (-\beta_1 t_1 - \gamma) = \beta_1 t_1 - \beta_2 s_1α2s12−α1t12=(−β2s1−γ)−(−β1t1−γ)=β1t1−β2s1.
于是：
xT−x0=γ⋅u2s1−u1t1β1t1−β2s1x_T - x_0 = \gamma \cdot \dfrac{u_2 s_1 - u_1 t_1}{\beta_1 t_1 - \beta_2 s_1}xT−x0=γ⋅β1t1−β2s1u2s1−u1t1
展开 β1,β2\beta_1, \beta_2β1,β2：
β1=u1(2Ax0+By0+D)+v1(Bx0+2Cy0+E)\beta_1 = u_1(2Ax_0 + By_0 + D) + v_1(Bx_0 + 2Cy_0 + E)β1=u1(2Ax0+By0+D)+v1(Bx0+2Cy0+E)
β2=u2(2Ax0+By0+D)+v2(Bx0+2Cy0+E)\beta_2 = u_2(2Ax_0 + By_0 + D) + v_2(Bx_0 + 2Cy_0 + E)β2=u2(2Ax0+By0+D)+v2(Bx0+2Cy0+E)
令 M=2Ax0+By0+D,N=Bx0+2Cy0+EM = 2Ax_0 + By_0 + D, N = Bx_0 + 2Cy_0 + EM=2Ax0+By0+D,N=Bx0+2Cy0+E，则 β1=Mu1+Nv1,β2=Mu2+Nv2\beta_1 = Mu_1 + Nv_1, \beta_2 = Mu_2 + Nv_2β1=Mu1+Nv1,β2=Mu2+Nv2.
分母 β1t1−β2s1=(Mu1+Nv1)t1−(Mu2+Nv2)s1=M(u1t1−u2s1)+N(v1t1−v2s1)\beta_1 t_1 - \beta_2 s_1 = (Mu_1 + Nv_1)t_1 - (Mu_2 + Nv_2)s_1 = M(u_1 t_1 - u_2 s_1) + N(v_1 t_1 - v_2 s_1)β1t1−β2s1=(Mu1+Nv1)t1−(Mu2+Nv2)s1=M(u1t1−u2s1)+N(v1t1−v2s1).
由 P1,Q1P_1, Q_1P1,Q1 在直线 y=kx+my=kx+my=kx+m 上，斜率 k=(y0+v1t1)−(y0+v2s1)(x0+u1t1)−(x0+u2s1)=v1t1−v2s1u1t1−u2s1k = \dfrac{(y_0+v_1t_1)-(y_0+v_2s_1)}{(x_0+u_1t_1)-(x_0+u_2s_1)} = \dfrac{v_1 t_1 - v_2 s_1}{u_1 t_1 - u_2 s_1}k=(x0+u1t1)−(x0+u2s1)(y0+v1t1)−(y0+v2s1)=u1t1−u2s1v1t1−v2s1.
即:
v1t1−v2s1=k(u1t1−u2s1)v_1 t_1 - v_2 s_1 = k(u_1 t_1 - u_2 s_1)v1t1−v2s1=k(u1t1−u2s1)
代入分母得：
β1t1−β2s1=M(u1t1−u2s1)+N⋅k(u1t1−u2s1)=(M+Nk)(u1t1−u2s1)\beta_1 t_1 - \beta_2 s_1 = M(u_1 t_1 - u_2 s_1) + N \cdot k(u_1 t_1 - u_2 s_1) = (M + Nk)(u_1 t_1 - u_2 s_1)β1t1−β2s1=M(u1t1−u2s1)+N⋅k(u1t1−u2s1)=(M+Nk)(u1t1−u2s1)
注意到 u1t1−u2s1=−(u2s1−u1t1)u_1 t_1 - u_2 s_1 = -(u_2 s_1 - u_1 t_1)u1t1−u2s1=−(u2s1−u1t1)，故 分母=−(M+Nk)(u2s1−u1t1)分母= -(M + Nk)(u_2 s_1 - u_1 t_1)分母=−(M+Nk)(u2s1−u1t1).
7. 结论
将化简后的分母代回 xTx_TxT 表达式：
xT−x0=γ⋅u2s1−u1t1−(M+Nk)(u2s1−u1t1)=−γM+Nkx_T - x_0 = \gamma \cdot \dfrac{u_2 s_1 - u_1 t_1}{-(M + Nk)(u_2 s_1 - u_1 t_1)} = -\dfrac{\gamma}{M + Nk}xT−x0=γ⋅−(M+Nk)(u2s1−u1t1)u2s1−u1t1=−M+Nkγ
即：
xT=x0−F(x0,y0)k(Bx0+2Cy0+E)+(2Ax0+By0+D)x_T = x_0 - \dfrac{F(x_0, y_0)}{k(Bx_0 + 2Cy_0 + E) + (2Ax_0 + By_0 + D)}xT=x0−k(Bx0+2Cy0+E)+(2Ax0+By0+D)F(x0,y0)
对应的纵坐标（T 在直线 L 上）：
yT=k(xT−x0)+y0=y0−kF(x0,y0)k(Bx0+2Cy0+E)+(2Ax0+By0+D)y_T = k(x_T - x_0) + y_0 = y_0 - \dfrac{k F(x_0, y_0)}{k(Bx_0 + 2Cy_0 + E) + (2Ax_0 + By_0 + D)}yT=k(xT−x0)+y0=y0−k(Bx0+2Cy0+E)+(2Ax0+By0+D)kF(x0,y0)
由于 xT,yTx_T, y_TxT,yT 的表达式中仅包含椭圆参数、定点 O 的坐标以及定斜率 k，而与截距 m 无关。
这就结束了，显然这更像一个浩大的工程而不是单纯解一道题目，任何考试卷上也写不下这么一大堆东西，即便能写下，也不会让人觉得惊艳，毕竟只要有蛮力和耐心，谁都能硬算。
莱布尼兹是位哲学家，他的世界观仿佛毕达哥拉斯学派，一切的推理，演绎，描述，表征，最终都是数字的有序排列组合，这简直就是现代计算机理论的先驱思想，而我们知道，这种机械的排列组合最适合机器做机械的操作，在没有计算机的时代，解析几何的人工操作显示不出优势，但正是因为人类并不擅长这些繁复的机械操作，反向推动了各种机器的发明，推动了产业革命，而我们现在利用计算机和 AI 求解问题时，解析几何相对传统依赖灵感的方法，便成了降维压制。
这里面可以看到方法论，世界观等哲学认知的价值，这也是编程的人甚至整个国内工科生所最不屑的，但这也反向印证了他们恰就是擅长机械操作的种类，所谓人以工具的特性分类，你做什么，你就是什么，你是什么，你就做什么。
未完待续...
浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。