矩阵逆时针旋转90度：三种解法从入门到精通

给定一个方阵，要求将其逆时针旋转90度，并且直接修改原矩阵，不能使用额外的矩阵空间（除了少数临时变量）。

示例：

输入：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

输出：

3 6 9
2 5 8
1 4 7

输入：

1  2  3  4
5  6  7  8
9 10 11 12
13 14 15 16

输出：

4 8 12 16
3 7 11 15
2 6 10 14
1 5  9 13

目录

• 方法一：使用额外空间（朴素解法）
• 方法二：原地旋转（循环交换）
• 方法三：先反转行再转置

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方法一：使用额外空间（朴素解法）

思路很简单：创建一个新的矩阵，然后根据旋转公式 res[n-j-1][i] = mat[i][j] 将原矩阵的元素放到新矩阵中，最后将新矩阵拷贝回原矩阵。

时间复杂度：O(n²)

空间复杂度：O(n²)

代码示例（Python）：

def rotateMatrix(mat):
    n = len(mat)
    res = [[0] * n for _ in range(n)]

    for i in range(n):
        for j in range(n):
            res[n - j - 1][i] = mat[i][j]

    for i in range(n):
        for j in range(n):
            mat[i][j] = res[i][j]

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方法二：原地旋转（循环交换）

这种方法不需要额外空间，直接在原矩阵上通过循环交换元素。

核心思想：将矩阵看作多个嵌套的环（cycles）。对于一个 n×n 的矩阵，有 n/2 个环。每个环上有 4 个元素需要交换位置。

算法步骤：

1. 从最外层环开始，逐层向内处理
2. 在每个环中，将四个角上的元素进行交换
3. 循环直到所有元素都到达正确位置

代码示例（Python）：

def rotateMatrix(mat):
    n = len(mat)

    for i in range(n // 2):
        for j in range(i, n - i - 1):
            temp = mat[i][j]
            mat[i][j] = mat[j][n - 1 - i]
            mat[j][n - 1 - i] = mat[n - 1 - i][n - 1 - j]
            mat[n - 1 - i][n - 1 - j] = mat[n - 1 - j][i]
            mat[n - 1 - j][i] = temp

时间复杂度：O(n²)

空间复杂度：O(1)

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方法三：先反转行再转置

这个方法最巧妙！

逆时针旋转90度 = 先反转每一行，再转置矩阵。

为什么这样可行？因为反转行后，原来第一行的元素会变成最后一行的逆序，再转置后，它们就到了第一列，正好是逆时针旋转的效果。

代码示例（Python）：

def rotateMatrix(mat):
    n = len(mat)

    # 反转每一行
    for row in mat:
        row.reverse()

    # 转置矩阵
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            mat[i][j], mat[j][i] = mat[j][i], mat[i][j]

时间复杂度：O(n²)

空间复杂度：O(1)

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总结

方法	时间复杂度	空间复杂度	特点
朴素解法	O(n²)	O(n²)	简单直观，但占用额外空间
循环交换	O(n²)	O(1)	原地操作，需要理解环的概念
反转+转置	O(n²)	O(1)	最优雅，代码最简洁

如果面试中遇到这个问题，建议先讲朴素解法，再优化到原地旋转，最后可以展示反转+转置的巧妙方法。这样能体现出你对问题理解的深度！

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