今天在看Allen老师的《CMOS模拟集成电路》4.4节电流镜，书中作者对电流镜两个管子的失配情况进行了讨论分析。
ioii=12K1′(W1L1)(VGS−VT1)(1+λVDS1)12K2′(W2L2)(VGS−VT2)(1+λVDS2)=(K2′K1′)(L1W2W1L2)(VGS−VT2VGS−VT1)2(1+λVDS11+λVDS2) \dfrac{i_o}{i_{i}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}K'1(\dfrac{W_1}{L_1})(V{GS}-V_{T1})(1+\lambda V_{DS1})}{\dfrac{1}{2}K'2(\dfrac{W_2}{L_2})(V{GS}-V_{T2})(1+\lambda V_{DS2})}=(\dfrac{K'2}{K'1})(\dfrac{L_1W_2}{W_1L_2})(\dfrac{V{GS}-V{T2}}{V_{GS}-V_{T1}})^2(\dfrac{1+\lambda V_{DS1}}{1+\lambda V_{DS2}}) iiio=21K2′(L2W2)(VGS−VT2)(1+λVDS2)21K1′(L1W1)(VGS−VT1)(1+λVDS1)=(K1′K2′)(W1L2L1W2)(VGS−VT1VGS−VT2)2(1+λVDS21+λVDS1)
他将电流镜失配分成了三种情况分析：
- 漏源电压失配；
- 阈值电压失配；
- 器件尺寸失配。
我们主要针对其对阈值电压误差的量化分析过程 进行思考。那么，我们则认为电流镜这两个管子只存在阈值电压的误差。
ioii=(VGS−VT2VGS−VT1)2 \dfrac{i_o}{i_{i}}=(\dfrac{V_{GS}-V_{T2}}{V_{GS}-V_{T1}})^2 iiio=(VGS−VT1VGS−VT2)2
作者采用的分析方法是定义两个新的参数：
- ΔVT=VT2−VT1\Delta V_T=V_{T2}-V_{T1}ΔVT=VT2−VT1
- VT=0.5(VT2+VT1)V_T=0.5(V_{T2}+V_{T1})VT=0.5(VT2+VT1)
那么就可以用这两个新的参数来表示VT2V_{T2}VT2和VT1V_{T1}VT1，
VT1=VT−0.5ΔVTVT2=VT+0.5ΔVT V_{T1}=V_T-0.5\Delta V_T\\V_{T2}=V_T+0.5\Delta V_T VT1=VT−0.5ΔVTVT2=VT+0.5ΔVT
那么就可以对分析式进行简化，
ioii=(VGS−VT−0.5ΔVTVGS−VT+0.5ΔVT)2 \dfrac{i_o}{i_{i}}=(\dfrac{V_{GS}-V_{T}-0.5\Delta V_{T}}{V_{GS}-V_{T}+0.5\Delta V_{T}})^2 iiio=(VGS−VT+0.5ΔVTVGS−VT−0.5ΔVT)2
分子分母同时除以(VGS−VT)2(V_{GS}-V_{T})^2(VGS−VT)2，
ioii=(1−0.5ΔVTVGS−VT1+0.5ΔVTVGS−VT)2 \dfrac{i_o}{i_{i}}=\left(\dfrac{1-\dfrac{0.5\Delta V_{T}}{V_{GS}-V_{T}}}{1+\dfrac{0.5\Delta V_{T}}{V_{GS}-V_{T}}}\right)^2 iiio= 1+VGS−VT0.5ΔVT1−VGS−VT0.5ΔVT 2
因为，我们认为这个误差是一个很小的值，所以，可以知道0.5ΔVTVGS−VT<<1\dfrac{0.5\Delta V_T}{V_{GS}-V_T}<<1VGS−VT0.5ΔVT<<1，这样我们就可对这样的分式结构进行化简。
我们需要用到泰勒展开的知识，
11+a=1−a+a2−a3+⋯⋯ \dfrac{1}{1+a}=1-a+a^2-a^3+\cdots\cdots 1+a1=1−a+a2−a3+⋯⋯当∣a∣<<1|a|<<1∣a∣<<1时，高阶的小量都可以忽略，则可以得到，
11+a≈1−a \dfrac{1}{1+a}\approx1-a 1+a1≈1−a
那么原式就可以化简为，
ioii≈(1−0.5ΔVTVGS−VT)2(1−0.5ΔVTVGS−VT)2≈1−2ΔVTVGS−VT \dfrac{i_o}{i_{i}}\approx\left(1-\dfrac{0.5\Delta V_{T}}{V_{GS}-V_{T}}\right)^2\left(1-\dfrac{0.5\Delta V_{T}}{V_{GS}-V_{T}}\right)^2\approx1-\dfrac{2\Delta V_{T}}{V_{GS}-V_{T}} iiio≈(1−VGS−VT0.5ΔVT)2(1−VGS−VT0.5ΔVT)2≈1−VGS−VT2ΔVT
通过上面的等式就可以对阈值电压的失配进行更加直接的分析。
我觉得这样对等式的转化的思路很值得学习。
- 第一步，将失配参数换成平均值和差值的和差形式。
- 第二步，分子分母同时除以相同的部分，得到1加减小量的分子分母。
- 第三步，使用泰勒展开进行近似，转换成乘积形式。
- 第四步，展开并忽略高阶小量得到更直接的分析形式。