本文涉及知识点
B3734 [信息与未来 2017] 加强版密码锁
题目描述
乌龟偶然获得了一个宝箱，宝箱上又有一把密码锁。密码锁由 n n n 个拨盘组成，每个拨盘初始时有一个 0 0 0 到
99 99 99 之间的整数。向上拨使数字 x x x 变为 ( x + 1 ) m o d 100 (x+1) \bmod 100 (x+1)mod100，
向下拨使数字 x x x 变为 ( x + 99 ) m o d 100 (x+99) \bmod 100 (x+99)mod100。
因为密码锁年久失修，拨盘拨动的次数越多越费力。
如果一个拨盘被拨动 k k k 次，需要花费 k 2 k^2 k2 单位时间。
密码锁只有在所有的拨盘上的数字形成一个从左到
右严格递增的数列时才会解开。乌龟再次请你帮忙，求
解解开密码锁的最少时间。
试题中使用的生成数列 R R R 定义如下：整数 0 ≤ R 1 < 201701 0\leq R_1\lt 201701 0≤R1<201701 在输入中给出。
对于 i > 1 , R i = ( R i − 1 × 6807 + 2831 ) m o d 201701 i\gt 1,R_i=(R_{i−1}\times 6807+2831)\bmod 201701 i>1,Ri=(Ri−1×6807+2831)mod201701。
输入格式
两个整数 n , R 1 n,R_1 n,R1，表示拨盘的数量和数列生成的首项。从左向右数第 i ( 1 ≤ i ≤ n ) i(1\leq i\leq n) i(1≤i≤n) 个拨盘的初始数字为 R i m o d 100 R_i \bmod 100 Rimod100。
输出格式
一个整数，表示解开密码锁的最少时间。
输入输出样例 #1
输入 #1
10 4输出 #1
3338说明/提示
30 % 30\% 30% 的数据满足 n ≤ 3 n\leq3 n≤3，所有数据满足 1 ≤ n ≤ 100 1\leq n\leq 100 1≤n≤100。
本题原始满分为 20 pts 20\text{pts} 20pts。
B3734 动态规划
动态规划的状态表示
dp[i][j]表示前i+1个锁盘严格升序，第i个（下标从0开始）锁盘j的最小成本数。 空间复杂度：O( ∑ \sum ∑N), ∑ \sum ∑是锁盘的可选值，本题是100。可以用滚动向量优化空间复杂度。
动态规划的填表顺序
枚举前置状态, i =1 to N-1 j = 0 to 99 j2= j+1 to 99
动态规划的转移方程
如果j2=j，增加的成本是0。
如果j2 > j，顺时针旋转 j2-j,逆时针旋转100-(j2-j)。
如果j2 < j，j2和j互换后，和j2>j同。
总结：k = min(abs(j2-j),100-abs(j2-j))，增加的成本是kk。
单个状态时间复杂度：O( ∑ \sum ∑)，总时间复杂度：O(n ∑ ∑ \sum\sum ∑∑)
动态规划的初始值
dp[0]要单独计算。
动态规划的返回值
min(pre)
可以利用前缀和优化
枚举后置状态，dp[j2] = min(pre[0...j2-1])+本次的成本。时间复杂度 ：O(n ∑ \sum ∑)
代码
核心代码
cpp
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include <bitset>
using namespace std;
template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
in >> pr.first >> pr.second;
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
return in;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
int n;
scanf("%d", &n);
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
COutBuff() {
m_p = puffer;
}
template<class T>
void write(T x) {
int num[28], sp = 0;
if (x < 0)
*m_p++ = '-', x = -x;
if (!x)
*m_p++ = 48;
while (x)
num[++sp] = x % 10, x /= 10;
while (sp)
*m_p++ = num[sp--] + 48;
AuotToFile();
}
void writestr(const char* sz) {
strcpy(m_p, sz);
m_p += strlen(sz);
AuotToFile();
}
inline void write(char ch)
{
*m_p++ = ch;
AuotToFile();
}
inline void ToFile() {
fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
m_p = puffer;
}
~COutBuff() {
ToFile();
}
private:
inline void AuotToFile() {
if (m_p - puffer > N - 100) {
ToFile();
}
}
char puffer[N], * m_p;
};
template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
inline CInBuff() {}
inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
FileToBuf();
ch = *S++;
return *this;
}
inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
FileToBuf();
int x(0), f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
FileToBuf();
long long x(0); int f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
template<class T1,class T2>
inline CInBuff& operator>>(pair<T1,T2>& val) {
*this >> val.first >> val.second;
return *this;
}
template<class T1, class T2,class T3>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2,T3>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3,class T4>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3,T4>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
return *this;
}
template<class T = int>
inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
int n;
*this >> n;
val.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> val[i];
}
return *this;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> ret[i];
}
return ret;
}
private:
inline void FileToBuf() {
const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
if (canRead >= 100) { return; }
if (m_bFinish) { return; }
for(int i = 0 ;i < canRead;i++)
{
buffer[i] = S[i];//memcpy出错
}
m_iWritePos = canRead;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
m_iWritePos += readCnt;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
}
int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
char buffer[N + 10], * S = buffer;
};
class Solution {
public:
int Ans(const int N, int r1) {
vector<int> rs = { r1 };
for (int i = 1; i < N; i++) {
rs.emplace_back((rs.back() * 6807LL + 2831) % 201701);
}
for (auto& i : rs) {
i = i % 100;
}
vector<int> pre(100, 1e8);
for (int j2 = 0; j2 < 100; j2++) {
const int t = abs(j2 - rs[0]);
const int k = min(t, 100 - t);
pre[j2] = k * k;
}
for (int i = 1; i < N; i++) {
vector<int> cur(100, 1e8);
for (int j = 0; j < 100; j++) {
for (int j2 = j + 1; j2 < 100; j2++) {
const int t = abs(j2 - rs[i]);
const int k = min(t, 100 - t);
cur[j2] = min(cur[j2], pre[j] + k * k);
}
}
pre.swap(cur);
}
return *min_element(pre.begin(), pre.end());
}
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG
int n, r1;
cin >> n >> r1;
#ifdef _DEBUG
//printf("N=%d,", N);
//Out(mat, ",mat=");
//Out(pos, ",pos=");
/*Out(edge, "edge=");
Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG
auto res = Solution().Ans(n, r1);
cout << res;
return 0;
}