多目标优化：遗传算法详解

摘要：遗传算法（Genetic Algorithm, GA）不是简单地"随机试很多次"，而是一套围绕"编码、评价、选择、重组、扰动"展开的自适应概率搜索框架。它适合处理不可导、多峰、约束复杂、搜索空间巨大的优化问题。进一步地，当问题从单目标扩展到多目标时，所谓"最优解"不再是一个点，而是一组互不支配的 Pareto 最优解。本文把遗传算法、约束处理、选择压力、多目标排序和模式理论串成一条主线：遗传算法如何在编码空间中积累有价值的信息，并逐步逼近高质量解集。

第一部分：从优化问题说起，为什么需要遗传算法

优化问题的本质，是在一堆候选方案中找到更好的方案。单目标优化比较直接：如果目标是最大化收益，就找收益最高的解；如果目标是最小化成本，就找成本最低的解。传统优化方法常常依赖函数的连续性、可导性、凸性或梯度信息，这在规则清楚、函数形态良好的问题中很有效。

但工程问题经常不那么理想。目标函数可能不可导，甚至没有显式表达式；搜索空间可能非常大；局部最优点可能很多；约束条件还可能让大量候选解变得不合法或不可行。此时，如果仍然只沿着梯度方向走，很容易卡在局部最优，或者根本没有梯度可用。

遗传算法的切入点不同。它不要求知道目标函数怎么求导，只要求能够给一个候选解打分。算法把候选解看成"个体"，把一批个体组成"种群"，通过适应度评价决定哪些个体更值得保留，再通过交叉和变异产生新个体。它属于一种自适应概率搜索技术，既不是盲目随机，也不是严格确定性搜索，而是在随机扰动中加入选择压力。

遗传算法的优势可以概括为三点。第一，它只依赖目标函数值，对问题本身的数学形式依赖较小。第二，它天然是种群搜索，多个个体并行探索不同区域，不容易只盯着一个点。第三，它能够通过交叉和变异不断重组已有信息，把局部优秀结构组合成更好的整体解。

第二部分：遗传算法的第一件事，是把现实解变成可进化的染色体

遗传算法并不直接操作现实问题中的变量，而是操作变量的编码。现实问题中的解所在空间叫解空间，编码后形成的染色体所在空间叫编码空间。编码做得好，算法的搜索就顺；编码做得差，交叉和变异可能频繁制造无意义个体。

以二进制编码为例，若变量 xjx_jxj 的取值范围是 [aj,bj][a_j,b_j][aj,bj]，并要求精度为 10−410^{-4}10−4，则二进制位数 mjm_jmj 需要满足：

2mj−1<(bj−aj)×104≤2mj−1 2^{m_j-1} < (b_j-a_j)\times 10^4 \le 2^{m_j}-1 2mj−1<(bj−aj)×104≤2mj−1

二进制子串映射成实数变量的公式为：

xj=aj+decimal⁡(substring⁡j)2mj−1(bj−aj) x_j=a_j+\frac{\operatorname{decimal}(\operatorname{substring}_j)}{2^{m_j}-1}(b_j-a_j) xj=aj+2mj−1decimal(substringj)(bj−aj)

这里的 decimal⁡(substring⁡j)\operatorname{decimal}(\operatorname{substring}_j)decimal(substringj) 表示第 jjj 个变量对应二进制子串的十进制值。这个过程完成了从"基因型"到"表现型"的转换。

编码方式可以按符号分为二进制编码、实数编码、整数排列编码、一般数据结构编码；按结构分为一维编码和多维编码；按长度分为固定长度编码和可变长度编码；按内容分为只编码解，或同时编码"解 + 参数"。这不是形式分类，而是直接影响搜索质量。

编码还必须考虑三个核心问题：

1. 合法性：染色体是否能表示问题中的一个解。
2. 可行性：解码后的解是否满足约束、落在可行域中。
3. 映射唯一性：染色体与解之间的映射是否清晰、稳定。

合法性不等于可行性。一个染色体可能能解码成问题中的一个方案，但该方案违反约束，所以是合法但不可行。面对交叉、变异产生的不合法或不可行解，常见处理方式有修复、拒绝、惩罚项。进化算法求解约束优化问题时，外罚函数法很常见，因为它不要求初始群体全部可行，而且某些不可行解可能携带靠近最优区域的信息。经验上，依赖"不可行解到可行域距离"的罚函数，通常优于只统计违反约束条数的罚函数。

第三部分：一轮进化到底发生了什么

遗传算法的一轮迭代可以理解为五件事：初始化、评估、选择、交叉、变异。

初始化就是生成第一批候选解。方法可以完全随机，也可以根据先验知识构造。种群规模太小，保留的信息不足，容易早熟收敛；种群规模太大，计算成本又会变高。种群规模本质上是在"信息多样性"和"计算量"之间做平衡。

评估依赖适应度函数。适应度越高，个体越可能留下来。对最大化问题，目标函数通常可以直接作为适应度函数；对最小化问题，需要把目标函数变换成"越大越好"的形式。适应度函数的选择会影响收敛速度，也会影响算法能否找到真正有价值的解。

轮盘赌选择是最典型的概率选择。设种群总适应度为：

F=∑k=1popSizeeval(vk) F=\sum_{k=1}^{popSize}eval(v_k) F=k=1∑popSizeeval(vk)

染色体 vkv_kvk 的选择概率为：

pk=eval(vk)F p_k=\frac{eval(v_k)}{F} pk=Feval(vk)

累积概率为：

qk=∑j=1kpj q_k=\sum_{j=1}^{k}p_j qk=j=1∑kpj

随机生成 r∈[0,1]r\in[0,1]r∈[0,1]，若 qk−1<r≤qkq_{k-1}<r\le q_kqk−1<r≤qk，就选择第 kkk 条染色体。因为每个个体在轮盘上占据的区间长度正好等于 pkp_kpk，所以适应度越高，被选中的概率越大。

交叉模拟基因重组。单点交叉随机选择两个父代，再随机选一个切点，交换切点之后的片段，生成子代。伪代码如下：

Algorithm: One-cut Point Crossover
input: crossover probability pc, parent P_k, k = 1, 2, ..., popSize
output: offspring C

for k <- 1 to floor(popSize / 2) do
    if pc >= random[0, 1] then
        repeat
            i <- random[1, popSize]
            j <- random[1, popSize]
        until i != j

        p <- random[1, l - 1]
        C_i <- P_i[1:p-1] // P_j[p:l]
        C_j <- P_j[1:p-1] // P_i[p:l]
    end if
end for

变异负责引入新信息。按位变异会遍历染色体每一位，并以概率 pMp_MpM 翻转该位；单点随机变异则先判断整条染色体是否触发变异，触发后随机选择一个基因位翻转。变异概率过低，种群缺乏探索；变异概率过高，算法会接近随机搜索。

完整流程可以概括为：

initialize P(t)
fitness eval(P)

while not termination condition:
    crossover P(t) to yield C(t)
    mutation C(t)
    fitness eval(C)
    select P(t+1) from P(t) and C(t)
    t <- t + 1

output best solution

第四部分：真正难的是选择压力与多样性的平衡

遗传算法不是单纯"保留最强者"就能成功。如果选择压力太弱，优秀个体无法被放大，搜索效率低；如果选择压力太强，早期的某个优秀个体会迅速统治种群，导致早熟收敛。算法的核心不是一味追求强选择，而是在竞争和多样性之间保持平衡。

一次随机采样（SUS）就是为了降低轮盘赌的随机波动。标准轮盘赌选择 NNN 个个体时，要独立转动 NNN 次轮盘；SUS 只生成一次随机数，然后设置 NNN 个等距指针。指针间距为：

d=1N d=\frac{1}{N} d=N1

第 kkk 个指针位置为：

pk=r+(k−1)d,k=1,2,...,N p_k=r+(k-1)d,\quad k=1,2,\dots,N pk=r+(k−1)d,k=1,2,...,N

这种方法让实际选中次数更接近期望值。

确定性选择更直接。(μ+λ)(\mu+\lambda)(μ+λ)-selection 从 μ\muμ 个父代和 λ\lambdaλ 个子代合并后的 μ+λ\mu+\lambdaμ+λ 个体中选出最好的 μ\muμ 个，父代中的优秀个体可以继续保留，因此选择压力更大。(μ,λ)(\mu,\lambda)(μ,λ)-selection 只从 λ\lambdaλ 个子代中选出最好的 μ\muμ 个，选择压力相对较小。精英选择则会在最优个体未被比例选择选中时强制保留。

竞赛选择兼具随机性和确定性。每次随机抽取 ttt 个个体，返回其中最好的一个。ttt 越大，选择压力越强；t=2t=2t=2 时就是二元竞赛选择。

除了选择方式，适应度变换也会调节竞争强度。例如线性变换：

fk′=afk+b f'_k=af_k+b fk′=afk+b

归一化变换：

fk′=fk−fmin+γfmax−fmin+γ f'k=\frac{f_k-f{min}+\gamma}{f_{max}-f_{min}+\gamma} fk′=fmax−fmin+γfk−fmin+γ

Boltzmann 变换：

fk′=efk/T f'_k=e^{f_k/T} fk′=efk/T

这些变换的作用，是避免适应度差距过小导致竞争不足，也避免差距过大导致早熟。

适应度共享进一步从"多样性"角度控制种群。它会惩罚过度聚集的个体，让种群分散到多个有潜力的区域。共享函数常写为：

Sh(d)={1−(dσshare)α,d<σshare0,otherwise Sh(d)= \begin{cases} 1-\left(\dfrac{d}{\sigma_{share}}\right)^\alpha, & d<\sigma_{share}\\ 0, & otherwise \end{cases} Sh(d)=⎩ ⎨ ⎧1−(σshared)α,0,d<σshareotherwise

个体 iii 的小生境计数为：

mi=∑j=1popSizeSh(dij) m_i=\sum_{j=1}^{popSize}Sh(d_{ij}) mi=j=1∑popSizeSh(dij)

共享适应度为：

fi′=fimi f'_i=\frac{f_i}{m_i} fi′=mifi

小生境半径越大，对聚集个体的惩罚越强。这个思想在多目标优化中尤其重要，因为我们不希望所有个体挤在 Pareto 前沿的一个小角落。

第五部分：从单目标到多目标，最优解变成了 Pareto 前沿

单目标优化中，最优解可以直接比较：谁的目标函数更好，谁就更优。多目标优化则不同。一个方案可能成本低但速度慢，另一个方案速度快但成本高。它们之间没有绝对优劣，只能讨论是否支配。

若不存在另一个点能在所有目标上都优于某点，则该点是非支配点。决策空间中对应这些非支配点的解，称为 Pareto 最优解、有效解或非劣解。所有非支配点组成的集合，就是 Pareto 前沿。

遗传算法扩展到多目标优化时，目标从"找到一个最好个体"变成"找到一组尽量逼近 Pareto 前沿且分布均匀的解"。因此，多目标遗传算法需要同时解决两件事：排序和多样性。

Goldberg 方法的思路是分层排序。首先找出所有非支配个体，赋予 Rank 1；然后移除这些个体，在剩余个体中继续找非支配个体，赋予 Rank 2；如此循环直到整个种群完成排序。

moGA 根据支配关系给个体赋等级。非支配染色体为 Rank 1；其他个体的等级与支配它的个体数量有关，通常是"支配它的个体数量 + 1"。平局可以通过随机选择打破。

NSGA 则在非支配排序基础上强调多样性。第一层非支配个体先获得较大的虚拟适应度，再通过共享机制削弱拥挤区域的繁殖优势；然后忽略第一层个体，继续识别第二层非支配前沿，并赋予较小的虚拟适应度。这个过程持续到整个种群被划分到多个前沿中。

随机余数比例选择可进一步降低采样误差。先计算个体理论期望复制次数：

Ei=N⋅fi∑j=1Nfj E_i=N\cdot\frac{f_i}{\sum_{j=1}^{N}f_j} Ei=N⋅∑j=1Nfjfi

把整数部分 ⌊Ei⌋\lfloor E_i\rfloor⌊Ei⌋ 作为确定性复制次数，余数部分再进行随机抽样。这样既能保证高适应度个体获得基本生存权，也能保留一定随机性。不过如果早期出现超级个体，它也可能被过度复制，引发早熟收敛。

第六部分：模式理论解释遗传算法为什么能积累有效信息

到这里，遗传算法的操作层已经清楚：编码、选择、交叉、变异。但还有一个更深的问题：为什么这些操作不是乱改字符串，而能逐步积累有用信息？模式理论给出了一个解释。

个体是由 000 和 111 构成的二进制串。模式则由 000、111 和通配符 * 构成。通配符表示该位置不限制取值。例如 1*0** 表示第一位为 1、第三位为 0 的所有个体。

模式阶 o(s)o(s)o(s) 是模式中明确字符的个数。模式定义长度 δ(s)\delta(s)δ(s) 是最后一个明确字符位置与第一个明确字符位置之差。直观上，低阶模式限制少，短定义长度模式跨度小，不容易被交叉破坏。

对于长度为 lll 的二进制字符串，未确定字符串可形成的模式总数为：

3l=(2+1)l 3^l=(2+1)^l 3l=(2+1)l

而某一条已经确定的二进制字符串所含模式数最多为：

2l 2^l 2l

设第 ttt 代中属于模式 sss 的个体数量为 m(s,t)m(s,t)m(s,t)，该模式平均适应度为 fˉ(s)\bar f(s)fˉ(s)，群体平均适应度为 Fˉ\bar FFˉ。复制操作后：

m(s,t+1)=m(s,t)⋅fˉ(s)Fˉ m(s,t+1)=m(s,t)\cdot\frac{\bar f(s)}{\bar F} m(s,t+1)=m(s,t)⋅Fˉfˉ(s)

如果 fˉ(s)>Fˉ\bar f(s)>\bar Ffˉ(s)>Fˉ，该模式数量增长；反之减少。若 fˉ(s)=Fˉ(1+c)\bar f(s)=\bar F(1+c)fˉ(s)=Fˉ(1+c)，则：

m(s,t+1)=m(s,1)(1+c)t m(s,t+1)=m(s,1)(1+c)^t m(s,t+1)=m(s,1)(1+c)t

说明高于平均适应度的模式会以指数形式增加。

交叉会破坏定义长度较长的模式。模式被破坏的概率近似为：

Pd=δ(s)l−1 P_d=\frac{\delta(s)}{l-1} Pd=l−1δ(s)

若交叉概率为 pcp_cpc，模式存活概率下限为：

1−pcδ(s)l−1 1-p_c\frac{\delta(s)}{l-1} 1−pcl−1δ(s)

变异会破坏明确位较多的模式。模式存活概率为：

(1−pm)o(s) (1-p_m)^{o(s)} (1−pm)o(s)

当 pm≪1p_m\ll1pm≪1 时：

(1−pm)o(s)≈1−pmo(s) (1-p_m)^{o(s)}\approx1-p_mo(s) (1−pm)o(s)≈1−pmo(s)

综合复制、交叉、变异，可得到模式定理的基本形式：

m(s,t+1)≥m(s,t)fˉ(s)Fˉ(1−pcδ(s)l−1−pmo(s)) m(s,t+1)\ge m(s,t)\frac{\bar f(s)}{\bar F} \left(1-p_c\frac{\delta(s)}{l-1}-p_mo(s)\right) m(s,t+1)≥m(s,t)Fˉfˉ(s)(1−pcl−1δ(s)−pmo(s))

这说明：短定义长度、低阶、平均适应度高于群体平均适应度的模式，更容易在遗传算法中被保留下来并快速增长。这就是遗传算法能够积累"好基因块"的理论基础。

第七部分：重新理解遗传算法

遗传算法不是把生物概念生搬硬套到计算机中，也不是简单随机试错。它的核心逻辑是：

编码让现实问题变成可演化的结构；适应度函数提供环境选择压力；选择放大优秀结构；交叉重组已有信息；变异引入新信息；适应度共享和多目标排序维持解集多样性；模式理论解释为什么优秀局部结构能被保留下来。

当问题是单目标时，遗传算法试图找到一个高质量解；当问题是多目标时，它试图逼近一整条 Pareto 前沿。理解这一点后，再看轮盘赌、SUS、NSGA、模式定理，就不会觉得它们是分散的知识点，而是同一个搜索框架中不同层面的机制：如何表示信息，如何筛选信息，如何重组信息，以及如何证明信息会被积累。