C++OJ题经验总结（竞赛）2

注意：本篇标红字段均是可纳为己用的经验条。
OJ题知识归属：

1、第一题：动态规划 -> 背包问题的分组背包

2、第二题：动态规划 -> 背包问题的分组背包

3、第三题：动态规划 -> 背包问题的混合背包

4、第四题：动态规划 -> 背包问题的多维费用背包
OJ题来源：洛谷

OJ题名：通天之分组背包

OJ题归属：动态规划【分组背包】

解题算法：动态规划 or 空间优化的动态规划。

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 1010;

int n, m, cnt;
vector<PII> va[N];
int f[N][N];

int main()
{
	cin >> m >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int a, b, c; cin >> a >> b >> c;
		va[c].push_back({ a, b });
		cnt = max(cnt, c);
	}

	for (int i = 1; i <= cnt; i++)
	{
		for (int j = m; j >= 0; j--)
		{
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			for (auto& e : va[i]) //遍历一组里面的物品
			{
				int a = e.first, b = e.second;
				if (j >= a) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - a] + b);
			}
		}
	}

	cout << f[cnt][m] << endl;

	return 0;
}

//空间优化
#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 1010;

int n, m, cnt;
vector<PII> va[N];
int f[N];

int main()
{
	cin >> m >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int a, b, c; cin >> a >> b >> c;
		va[c].push_back({ a, b });
		cnt = max(cnt, c);
	}

	for (int i = 1; i <= cnt; i++)
	{
		for (int j = m; j >= 0; j--)
		{
			for (auto& e : va[i]) //遍历一组里面的物品
			{
				int a = e.first, b = e.second;
				if (j >= a) f[j] = max(f[j], f[j - a] + b);
			}
		}
	}

	cout << f[m] << endl;

	return 0;
}

OJ题来源：洛谷

OJ题名：排兵布阵

OJ题归属：动态规划【分组背包】

解题算法：动态规划 or 空间优化的动态规划。

这一题本质是普通的分组背包，只是在使用动态规划算法前，需要将题目给的数据整理成适合动态规划算法的数据格式。

题目里：

城堡 -> 一个组；

玩家对城堡投入的兵力转化后 -> 组内数据；

"我"这个玩家投入的兵力 -> 是一个标线 -> 在标线之下的组内数据都是可以拿走的，实现这个，就需要用 sort 对组内数据进行排序，而 sort 只对行起效，对列没用 -> 翻转数据棋盘。

f $i$ $j$ 表示：在前 i 个城堡中挑选，在不超过兵力 j 的情况下，可以得到的最大分数。
cpp 复制代码
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 110, M = 2e4 + 10;

int s, n, m;
int a[N][N];
int f[N][M];

int main()
{
	cin >> s >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= s; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			cin >> a[j][i];
			a[j][i] = a[j][i] * 2 + 1;
		}
	}

	//给每个堡垒的那组数据排序
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		sort(a[i] + 1, a[i] + 1 + s);
	}

	//填dp表
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			for (int k = 1; k <= s && a[i][k] <= j; k++)
			{
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - a[i][k]] + k * i);
			}
		}
	}

	cout << f[n][m] << endl;

	return 0;
}

//空间优化
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 110, M = 2e4 + 10;

int s, n, m;
int a[N][N];
int f[M];

int main()
{
	cin >> s >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= s; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			cin >> a[j][i];
			a[j][i] = a[j][i] * 2 + 1;
		}
	}

	//给每个堡垒的那组数据排序
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		sort(a[i] + 1, a[i] + 1 + s);
	}

	//填dp表
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = m; j >= 0; j--)
		{
			for (int k = 1; k <= s && a[i][k] <= j; k++)
			{
				f[j] = max(f[j], f[j - a[i][k]] + k * i);
			}
		}
	}

	cout << f[m] << endl;

	return 0;
}

OJ题来源：洛谷

OJ题名：樱花

OJ题归属：动态规划【混合背包】

解题算法：分类讨论 + 动态规划。

经验总结：01背包其实包含在多重背包的，是从多重背包 "k = 1" 这个分支单独拿出来的。

cpp 复制代码

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1e4 + 10, M = 1e3 + 10;

int n, m;
int t[N], c[N], p[N];
int f[M];

int main()
{
	int t1, t2, t3, t4; char ch;
	cin >> t1 >> ch >> t2 >> t3 >> ch >> t4 >> n;
	m = t3 * 60 + t4 - (t1 * 60 + t2);

	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> t[i] >> c[i] >> p[i];

	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (p[i] == 0)//完全背包
		{
			for (int j = t[i]; j <= m; j++)
			{
				f[j] = max(f[j], f[j - t[i]] + c[i]);
			}
		}
		else if (p[i] == 1)//01背包
		{
			for (int j = m; j >= t[i]; j--)
			{
				f[j] = max(f[j], f[j - t[i]] + c[i]);
			}
		}
		else//多重背包
		{
			for (int j = m; j >= t[i]; j--)
			{
				for (int k = 1; k <= p[i] && j >= t[i] * k; k++)
				{
					f[j] = max(f[j], f[j - t[i] * k] + c[i] * k);
				}
			}
		}
	}

	cout << f[m] << endl;

	return 0;
}

//01背包合并于多重背包
#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1e4 + 10, M = 1e3 + 10;

int n, m;
int t[N], c[N], p[N];
int f[M];

int main()
{
	int t1, t2, t3, t4; char ch;
	cin >> t1 >> ch >> t2 >> t3 >> ch >> t4 >> n;
	m = t3 * 60 + t4 - (t1 * 60 + t2);

	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> t[i] >> c[i] >> p[i];

	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (p[i] == 0)//完全背包
		{
			for (int j = t[i]; j <= m; j++)
			{
				f[j] = max(f[j], f[j - t[i]] + c[i]);
			}
		}
		else//多重背包 or 01背包 ------ 01背包包含在多重背包里面了
		{
			for (int j = m; j >= t[i]; j--)
			{
				for (int k = 1; k <= p[i] && j >= t[i] * k; k++)
				{
					f[j] = max(f[j], f[j - t[i] * k] + c[i] * k);
				}
			}
		}
	}

	cout << f[m] << endl;

	return 0;
}

OJ题来源：洛谷

OJ题名：L国的战斗之间谍

OJ题归属：动态规划【多维费用背包】

解题算法：空间优化的动态规划。

经验总结：多维费用背包本质是01背包，适配01背包的所有分析方法，只是限制条件变多了。
cpp 复制代码
//三维的空间会爆炸，所以必须要用空间优化优化掉一维
#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 110, M = 1010;

int n, m, x;
int a[N], b[N], c[N];
int f[M][M];

int main()
{
	cin >> n >> m >> x;
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = m; j >= b[i]; j--)
			for (int k = x; k >= c[i]; k--)
				f[j][k] = max(f[j][k], f[j - b[i]][k - c[i]] + a[i]);
	cout << f[m][x] << endl;

	return 0;
}