题目描述
给你一个若干个区间的集合 intervals，其中每个区间为 intervals[i] = [starti, endi]。请你合并所有重叠的区间，并返回一个不重叠的区间数组，该数组需恰好覆盖输入中的所有区间。
示例
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示例 1：
输入：intervals = [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]
输出：[[1,6],[8,10],[15,18]]
解释：区间 [1,3] 和 [2,6] 重叠，将它们合并为 [1,6]。
示例 2：
输入：intervals = [[1,4],[4,5]]
输出：[[1,5]]
解释：区间 [1,4] 和 [4,5] 可被视为重叠区间。
示例 3：
输入：intervals = [[4,7],[1,4]]
输出：[[1,7]]
解释：区间 [1,4] 和 [4,7] 可被视为重叠区间。
解题思路总览
| 方法 |
核心思想 |
时间复杂度 |
空间复杂度 |
备注 |
| 排序 + 贪心 |
先按起点排序，后遍历合并 |
O(n log n) |
O(n) |
推荐解法 |
| 模拟法 |
两两比较所有区间 |
O(n^2) |
O(n) |
会超时 |
一、排序 + 贪心（最常用）
核心思想
先按区间的起点进行升序排序，排序后相邻的区间才有可能是需要合并的区间。然后遍历区间，维护一个结果集，如果当前区间与结果集中最后一个区间有重叠，则合并，否则加入结果集。
状态转移逻辑
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如果当前区间起点 <= 结果集最后一个区间终点：
-> 有重叠，合并（取两区间终点的较大值）
否则：
-> 无重叠，直接加入结果集
图解
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intervals = [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]
第一步：排序（按起点升序）
原顺序: [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]
排序后: [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]] (已按起点排好，无需修改)
第二步：遍历合并
ans = []
处理 [1,3]：
ans 为空，直接加入
ans = [[1,3]]
处理 [2,6]：
2 <= 3（上一个终点），有重叠
合并：ans.back()[1] = max(6, 3) = 6
ans = [[1,6]]
处理 [8,10]：
8 > 6（上一个终点），无重叠
ans = [[1,6],[8,10]]
处理 [15,18]：
15 > 10（上一个终点），无重叠
ans = [[1,6],[8,10],[15,18]]
输出: [[1,6],[8,10],[15,18]]
二、算法流程图
详细合并过程
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输入: intervals = [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]
初始化：
ans = []
排序后: [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]
遍历 i=0, [1,3]：
ans = []
ans.empty()? 是
ans.push_back([1,3])
ans = [[1,3]]
遍历 i=1, [2,6]：
ans.back() = [1,3]
interval[0]=2, ans.back()[1]=3
2 <= 3? 是，重叠
ans.back()[1] = max(6, 3) = 6
ans = [[1,6]]
遍历 i=2, [8,10]：
ans.back() = [1,6]
interval[0]=8, ans.back()[1]=6
8 <= 6? 否，不重叠
ans.push_back([8,10])
ans = [[1,6],[8,10]]
遍历 i=3, [15,18]：
ans.back() = [8,10]
interval[0]=15, ans.back()[1]=10
15 <= 10? 否，不重叠
ans.push_back([15,18])
ans = [[1,6],[8,10],[15,18]]
输出: [[1,6],[8,10],[15,18]]
三、完整代码实现
cpp
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class Solution {
public:
vector<vector<int>> merge(vector<vector<int>>& intervals) {
// 按区间起点排序
sort(intervals.begin(), intervals.end());
vector<vector<int>> ans;
for (auto& interval : intervals) {
// 如果当前区间起点 <= 上一个区间终点，说明有重叠
if (!ans.empty() && interval[0] <= ans.back()[1]) {
// 合并：终点取两区间中较大的值
ans.back()[1] = max(interval[1], ans.back()[1]);
} else {
// 无重叠，直接加入
ans.emplace_back(interval);
}
}
return ans;
}
};
四、逐行解析
cpp
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sort(intervals.begin(), intervals.end());
- 按区间起点升序排列
- 排序后，相邻区间才有可能是需要合并的区间
- 如果不排序，需要 O(n^2) 的两两比较
cpp
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vector<vector<int>> ans;
cpp
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for (auto& interval : intervals) {
cpp
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if (!ans.empty() && interval[0] <= ans.back()[1]) {
!ans.empty() 检查结果集是否为空，避免访问空数组interval[0] <= ans.back()[1] 检查当前区间起点是否小于等于上一个区间的终点- 如果为真，说明两个区间重叠或相邻（[1,3] 和 [3,5] 也算重叠）
cpp
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ans.back()[1] = max(interval[1], ans.back()[1]);
- 合并区间：终点取两个区间中较大的那个
- 例如 [1,3] 和 [2,6] 合并后，终点为 max(3, 6) = 6
cpp
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} else {
ans.emplace_back(interval);
}
五、关键点解释
| 条件 |
含义 |
示例 |
interval[0] <= ans.back()[1] |
当前区间起点 <= 上一个区间终点，有重叠 |
[1,3] 和 [2,6] |
interval[0] > ans.back()[1] |
当前区间起点 > 上一个区间终点，无重叠 |
[1,3] 和 [5,7] |
区间相邻 [1,3], [3,5] |
3 <= 3，也算重叠，需合并为 [1,5] |
- |
边界情况分析
| 情况 |
处理方式 |
示例 |
| 空数组 |
返回空 vector |
intervals = [] |
| 单个区间 |
直接返回 |
intervals = [[1,3]] |
| 区间完全不相交 |
全部保留 |
[[1,2],[5,6]] -> [[1,2],[5,6]] |
| 区间完全包含 |
保留最大的那个 |
[[1,5],[2,3]] -> [[1,5]] |
| 区间首尾相接 |
合并为一个区间 |
[[1,3],[3,5]] -> [[1,5]] |
六、与第 435 题（无重叠区间）对比
| 维度 |
第 56 题 合并区间 |
第 435 题 无重叠区间 |
| 问题类型 |
合并重叠区间 |
移除最少的区间使无重叠 |
| 操作 |
直接合并 |
需要计算移除数量 |
| dp 含义 |
无需 dp，贪心即可 |
dp[i] = 最多保留多少区间 |
| 贪心策略 |
按起点排序，合并重叠 |
按终点排序，选择不重叠的最多区间 |
| 时间复杂度 |
O(n log n) |
O(n log n) |
七、三种操作的贪心选择
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合并区间时，对于每个区间只有两种选择：
1. 与上一个区间合并
条件：interval[0] <= ans.back()[1]
操作：ans.back()[1] = max(ans.back()[1], interval[1])
2. 作为新区间加入
条件：interval[0] > ans.back()[1]
操作：ans.push_back(interval)
没有"删除"操作，因为合并区间是保留所有区间，只是合并重叠部分。
复杂度分析
| 方法 |
时间复杂度 |
空间复杂度 |
备注 |
| 排序 + 贪心 |
O(n log n) |
O(n) |
排序是瓶颈 |
| 模拟法 |
O(n^2) |
O(n) |
会超时 |
详细分析：
- 时间复杂度：排序 O(n log n) + 遍历 O(n) = O(n log n)
- 空间复杂度：结果集最坏情况 O(n)（所有区间都不重叠）
面试追问 FAQ
| 问题 |
回答要点 |
| Q: 为什么需要排序？ |
排序后，相邻的区间才是可能需要合并的区间，否则需要 O(n^2) 的两两比较来判断重叠 |
| Q: 能否不排序？ |
可以，但时间复杂度会变成 O(n^2)，面试中不推荐 |
| Q: 如果要求原地修改怎么办？ |
在原数组上直接修改，排序后遍历合并，结果写回原数组 |
| Q: 如何处理多维区间（如矩形合并）？ |
按 x 坐标排序后遍历，再按 y 坐标检查是否能合并，较复杂 |
| Q: 如何处理区间有负数的情况？ |
排序只关心相对大小，负数不影响，直接排序即可 |
| Q: 区间数量很大时如何优化？ |
可以用扫描线算法，但本题贪心解法已经是 O(n log n) 最优 |
相关题目
| 题目编号 |
题目名称 |
难度 |
核心差异 |
| 56 |
合并区间 |
中等 |
基础题，合并重叠区间 |
| 435 |
无重叠区间 |
中等 |
删除最少的区间使无重叠 |
| 452 |
用最少数量的箭引爆气球 |
中等 |
排序后贪心，区间包含判断 |
| 986 |
区间列表的交集 |
中等 |
双指针求交集 |
| 1288 |
删除被覆盖的区间 |
中等 |
删除被覆盖的区间 |
总结
| 要点 |
内容 |
| 核心思想 |
先排序，后贪心合并 |
| 排序依据 |
按区间起点升序 |
| 关键判断 |
interval[0] <= ans.back()[1] 判断是否有重叠 |
| 合并方式 |
起点取较小值，终点取两区间中较大值 |
| 时间复杂度 |
O(n log n)（排序是瓶颈） |
| 空间复杂度 |
O(n)（结果集最坏情况） |
| 边界情况 |
空数组、单区间、全部重叠、全部不重叠 |
合并区间是经典的区间贪心问题，核心在于排序后只需要一次遍历即可完成合并，思路清晰，代码简洁。