ABC460_E题题解

wanghu20242026-06-01 12:17

题意：给定 N N N 和 M M M，找到 x , y ∈ $1 , N$ x,y\in $1,N$ x,y∈ $1,N$ 满足 concat ⁡ ( x , y ) ≡ x + y ( m o d M ) \operatorname{concat} (x,y)\equiv x+y \pmod{M} concat(x,y)≡x+y(modM) 的对数。

首先 concat ⁡ ( x , y ) = x × 10 sum ⁡ ( y ) + y \operatorname{concat}(x,y)=x\times10^{\operatorname{sum}(y)}+y concat(x,y)=x×10sum(y)+y， sum ⁡ ( y ) \operatorname{sum}(y) sum(y) 表示 y y y 十进制下的位数。所以可以推式子。

x × 10 sum ⁡ ( y ) + y ≡ x + y ( m o d M ) ⟹ ( 10 sum ⁡ ( y ) − 1 ) x ≡ 0 ( m o d M ) x\times10^{\operatorname{sum}(y)}+y\equiv x+y \pmod{M}\Longrightarrow (10^{\operatorname{sum}(y)}-1)x\equiv 0 \pmod{M} x×10sum(y)+y≡x+y(modM)⟹(10sum(y)−1)x≡0(modM)

我们枚举 a = 10 sum ⁡ ( y ) − 1 a=10^{\operatorname{sum}(y)}-1 a=10sum(y)−1，计算的就是同余方程 a x ≡ 0 ( m o d M ) ax\equiv 0 \pmod{M} ax≡0(modM) 中 x x x 的解的个数，再乘上满足 sum ⁡ ( y ) \operatorname{sum}(y) sum(y) 等于我们枚举的定值的 y y y 的个数，加到答案里。

因为 a x ≡ 0 ( m o d M ) ⟹ a x + M y ′ = 0 ax\equiv 0 \pmod{M}\Longrightarrow ax+My'=0 ax≡0(modM)⟹ax+My′=0，记 d = gcd ⁡ ( a , M ) d=\gcd(a,M) d=gcd(a,M)，这个二元一次方程很特殊， x x x 的通解为 x = k M d ( k ∈ Z ) x=k\dfrac{M}{d}(k\in \mathbb{Z} ) x=kdM(k∈Z)，所以解要满足下面的条件。

1 ≤ k M d ≤ N ⟹ 1 × d M ≤ k ≤ N × d M ⟹ 1 ≤ k ≤ N × d M 1\le k\dfrac{M}{d}\le N\Longrightarrow 1\times\dfrac{d}{M}\le k\le N\times\dfrac{d}{M} \Longrightarrow 1\le k\le N\times\dfrac{d}{M} 1≤kdM≤N⟹1×Md≤k≤N×Md⟹1≤k≤N×Md

而 y y y 的个数就是满足位数为 sum ⁡ ( y ) \operatorname{sum}(y) sum(y) 的数的个数（即一位数的个数，两位数的个数......）可以很简单地求出。

核心代码：

cpp 复制代码

void solve(){
	__int128 n,m;
	read(n);read(m);
	int t=sum(n);
	__int128 k=1;
	__int128 ans=0;
	for(int i=1;i<=t;i++){
		k*=(__int128)10;
		__int128 d=gcd(k-1,m);
		__int128 l=1;
		__int128 r=d*n/m;
		ans+=(r-l+1)*(min(n,k-1)-k/10+1)%998244353;
		ans%=998244353;
	}
	prin(ans);
	putchar('\n');
}