从“看起来像双指针”到真正的动态规划 —— 最长公共子序列

一、题目速览

LeetCode 1143. 最长公共子序列（Medium）

给定两个字符串 text1和 text2，返回它们的 最长公共子序列的长度。

若不存在公共子序列，返回 0。

示例

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text1 = "abcde"
text2 = "ace"

输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace"，长度为 3。

二、第一反应为什么容易错？

很多人第一眼会想：

"能不能用双指针？"

❌ 不行，因为：

子序列 不要求连续
双指针只能处理"连续匹配"
一旦跳字符，顺序就乱了

三、为什么一定是动态规划？

关键特征全部命中：

DP 特征	本题表现
有重叠子问题	同一个前缀对会被反复计算
有最优子结构	整体最优由局部最优构成
无后效性	后面的选择不影响前面的结果

👉 LCS 是 DP 教科书级例题

四、状态设计（最重要的一步）

定义状态

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dp[i][j] = text1 前 i 个字符 与 text2 前 j 个字符 的最长公共子序列长度

注意：

i、j表示 前缀长度，不是下标

五、状态转移（核心逻辑）

情况 1：当前字符相同

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text1[i-1] == text2[j-1]
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1

✅ 把这个字符加入公共子序列

情况 2：当前字符不同

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text1[i-1] != text2[j-1]
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

✅ 至少丢掉其中一个字符，取更优的结果

合并写法

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if text1[i-1] == text2[j-1]:
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

六、基础边界

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dp[0][*] = 0
dp[*][0] = 0

空字符串与任何字符串的公共子序列长度都是 0。

七、执行过程示例

text1 = "abcde"

text2 = "ace"

DP 表（简化）：

	a	c	e
Ø	0	0	0
a	1	1	1
b	1	1	1
c	1	2	2
d	1	2	2
e	1	2	3 ✅

八、Java 实现（面试版）

二维 DP（最清晰）

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class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int m = text1.length();
        int n = text2.length();
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];

        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

九、空间优化（进阶加分）

因为 dp[i][j]只依赖：

上一行
当前行前一个

👉 可用一维数组优化：

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class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int m = text1.length();
        int n = text2.length();
        int[] dp = new int[n + 1];

        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            int prev = 0;
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                int temp = dp[j];
                if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
                    dp[j] = prev + 1;
                } else {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1]);
                }
                prev = temp;
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

十、复杂度分析

版本	时间复杂度	空间复杂度
二维 DP	O(m × n)	O(m × n)
一维 DP	O(m × n)	O(n)

十一、面试答题模板（直接背）

"这是一道经典的二维动态规划问题。

我们用 dp[i][j]表示 text1前 i个字符和 text2前 j个字符的最长公共子序列长度。

如果两个字符相同，就继承左上角的值并加一；

如果不同，就取上方和左方的最大值。

时间复杂度 O(m×n)，空间复杂度可以优化到 O(n)。"

十二、一句话总结

**LCS 的本质不是"找字符串"，而是"数状态"。**

你不是在比较两个字符串，而是在比较它们所有可能的"前缀对"。