图的概念
图 (graph) 是一个二元组 𝐺 =(𝑉(𝐺),𝐸(𝐺))
．其中 𝑉(𝐺)
是非空集，称为 点集 (vertex set) ，对于 𝑉
中的每个元素，我们称其为 顶点 (vertex) 或 节点 (node)（或 结点） ，简称 点 ；𝐸(𝐺)
为 𝑉(𝐺)
各结点之间边的集合，称为 边集 (edge set)
常用 𝐺 =(𝑉,𝐸)
表示图．
当 𝑉,𝐸
都是有限集合时，称 𝐺
为 有限图．
当 𝑉
或 𝐸
是无限集合时，称 𝐺
为 无限图．
图有多种，包括 无向图 (undirected graph) ，有向图 (directed graph) ，混合图 (mixed graph) 等．
有向图的边是单向的，只能从一端连接到另一端；无向图的边是双向的，他表示这条边既可以从一端走向另一端，也可以从另一端走向这端。混合图，则图中既有 有向边 ，又有 无向边．
除了从有向图和无向图的角度分类，我们还可以从边是否有权值的角度，将图分类为 无权图 和 带权图 ，
简单图
自环 (loop) ：对 𝐸
中的边 𝑒 =(𝑢,𝑣)
，若 𝑢 =𝑣
，则 𝑒
被称作一个自环．
重边 (multiple edge) ：若 𝐸
中存在两个完全相同的元素（边）𝑒1,𝑒2
，则它们被称作（一组）重边．
简单图 (simple graph) ：若一个图中没有自环和重边，它被称为简单图．具有至少两个顶点的简单无向图中一定存在度相同的结点．（鸽巢原理）
如果一张图中有自环或重边，则称它为 多重图 (multigraph)．
度数
与一个顶点 𝑣
关联的边的条数称作该顶点的 度 (degree) ，记作 𝑑(𝑣)
．特别地，对于边 (𝑣,𝑣)
，则每条这样的边要对 𝑑(𝑣)
产生 2
的贡献．
对于无向简单图，有 𝑑(𝑣) =|𝑁(𝑣)|
．
握手定理（又称图论基本定理）：对于任何无向图 𝐺 =(𝑉,𝐸)
，有 ∑𝑣∈𝑉𝑑(𝑣) =2|𝐸|
．
即无向图中结点度数的总和等于边数的两倍。有向图中结点的 入度 之和等于 出度 之和等于边数。
推论： 在任意图中，度数为奇数的点必然有偶数个。
证明：反证法
在有向图 中，度可以分为：入度 和 出度
以上图为例
节点2的入度等于3，出度等于2；
所以节点v入度 ：有向图中以节点v作为终点的个数
节点v出度 ：有向图中以节点v作为起点的个数
子图
对于一个图，我们取出其中的一些顶点，以及保留两端都在这些顶点之中的边，这样构成的子图称为 顶点导出子图 。
如果我们取出一些边，并保留这些边的顶点，这样构成的子图为 边导出子图 。
若 𝐻 ⊆𝐺
满足 𝑉′ =𝑉
，则称 𝐻
为 𝐺
的 生成子图/支撑子图 (⊆是包含符号)
如果一张无向图 𝐺
的某个生成子图 𝐹
为 𝑘
- 正则图，则称 𝐹
为 𝐺
的一个 𝑘 
- 因子
连通
对于一张图，和树不同，树是肯定连通的，但是图可以是不连通的。 我们称任意两个结点可达为 连通 。如果一个无向图上，任意两个结点都可以互相到达，那么我们叫这张图为连通图，反之则称为非连通图。
若无向图 𝐺 =(𝑉,𝐸)
，满足其中任意两个顶点均连通，则称 𝐺
是 连通图 (connected graph) ，𝐺
的这一性质称作 连通性 (connectivity)，
若 𝐻
是 𝐺
的一个连通子图，且不存在 𝐹
满足 𝐻 ⊊𝐹 ⊆𝐺
且 𝐹
为连通图，则 𝐻
是 𝐺
的一个 连通块/连通分量 (connected component)
示例如下 ：
对于有向图，
若一张有向图的节点两两互相可达，则称这张图是 强连通图
若一张有向图的边替换为无向边后可以得到一张连通图，则称原来这张有向图是 弱连通图
与连通分量类似，也有 弱连通分量 和 强连通分量
路径
途径 (walk) ：途径是连接一连串顶点的边的序列，可以为有限或无限长度．形式化地说，一条有限途径 𝑤
是一个边的序列 𝑒1,𝑒2,...,𝑒𝑘
，使得存在一个顶点序列 𝑣0,𝑣1,...,𝑣𝑘
满足 𝑒𝑖 =(𝑣𝑖−1,𝑣𝑖)
，其中 𝑖 ∈1,𝑘
．这样的途径可以简写为 𝑣0 →𝑣1 →𝑣2 →⋯ →𝑣𝑘
．通常来说，边的数量 𝑘
被称作这条途径的 长度（如果边是带权的，长度通常指途径上的边权之和，题目中也可能另有定义）．
迹 (trail) ：对于一条途径 𝑤
，若 𝑒1,𝑒2,...,𝑒𝑘
两两互不相同，则称 𝑤
是一条迹．
路径 (path) （又称 简单路径 (simple path) ）：对于一条迹 𝑤
，若其连接的点的序列中点两两不同，则称 𝑤
是一条路径．
回路 (circuit) ：对于一条迹 𝑤
，若 𝑣0 =𝑣𝑘
，则称 𝑤
是一条回路．
环/圈 (cycle) （又称 简单回路/简单环 (simple circuit) ）：对于一条回路 𝑤
，若 𝑣0 =𝑣𝑘
是点序列中唯一重复出现的点对，则称 𝑤
是一个环
特殊的图
任意两点之间都有边的图称作 完全图 。
所有的边和点恰好构成一个圈的 无向简单图 称作环图。
若无向简单图 𝐺 =(𝑉,𝐸)
满足，存在一个点 𝑣
为支配点，其余点之间没有边相连，则称 𝐺
为 星图 ，𝑛 +1
(𝑛 ≥1
) 阶星图记作 𝑆𝑛
．
链 和树都是图