题意
一张 nnn 个点，mmm 条边的无向图，边有边权，从 111 开始随机游走，走到 nnn 停止，问经过的边权异或和期望是多少。
n≤100,m≤10000n\le100,m\le10000n≤100,m≤10000。
思路
按位把边权拆开，对于每一位，设 fi,0/1f_{i,0/1}fi,0/1 表示经过 iii，异或和为 0/10/10/1 的期望次数，令当前枚举到二进制第 ccc 位，转移：
- 边 u,vu,vu,v 的权值第 ccc 位是 000
fu,0←1deg(v)fv,0f_{u,0}\leftarrow\frac1{\deg(v)}f_{v,0}fu,0←deg(v)1fv,0，fu,1←1deg(v)v,1f_{u,1}\leftarrow\frac1{\deg(v)}{v,1}fu,1←deg(v)1v,1 - 边 u,vu,vu,v 的边权第 ccc 位是 111
fu,0←1deg(v)fv,1f_{u,0}\leftarrow\frac1{\deg(v)}f_{v,1}fu,0←deg(v)1fv,1，fu,1←1deg(v)fv,0f_{u,1}\leftarrow\frac1{\deg(v)}f_{v,0}fu,1←deg(v)1fv,0
因为初始在 111，异或和为 000，所以 f1,0f_{1,0}f1,0 的值还要加一。
显然，这个转移时有后效性的，所以要高斯消元。
走到 nnn 后就再也出不来了，所以不能把 fn,0/1f_{n,0/1}fn,0/1 放进来一起消，需要先把其祂的 fff 值算出来，再计算 fn,0/1f_{n,0/1}fn,0/1。
考虑计算答案。由于走到 nnn 后就再也出不来了，所以 fn,1=0×pn,0+1×pn,1f_{n,1}=0\times p_{n,0}+1\times p_{n,1}fn,1=0×pn,0+1×pn,1，即 fn,1=pn,1f_{n,1}=p_{n,1}fn,1=pn,1（其中 pi,0/1p_{i,0/1}pi,0/1 表示走到 iii 异或和胃 0/10/10/1 的概率）。求出了概率，就可以求期望了。
时间复杂度 O(n3logw)\mathcal O(n^3\log w)O(n3logw)。
代码
cpp
// Problem: P3211 [HNOI2011] XOR和路径
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3211
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
template<typename T>
inline void read(T&x){
x=0;char c=getchar();bool f=0;
while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
f?x=-x:0;
}
template<typename T>
inline void write(T x){
if(x==0){putchar('0');return ;}
x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
while(top) putchar(st[top--]+'0');
}
inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
inline void write(char c){putchar(c);}
inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
const int maxn=110,maxm=10010;
const double eps=1e-8;
double a[maxn*2][maxn*2],p[maxn],ans[maxn*2];
int n,m,d[maxn];
struct EDGE{int u,v,w;}b[maxm];
int id0(int u){return u;}
int id1(int u){return u+n-1;}
void work(int n){
int p=1;
for(int i=1;i<=n;i++) ans[i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=p;j<=n;j++) if(abs(a[j][i])>=eps){swap(a[j],a[p]);break;}
if(abs(a[p][i])<eps) continue;
for(int j=p+1;j<=n;j++){
double bs=a[j][i]/a[p][i];
for(int k=1;k<=n+1;k++) a[j][k]-=a[p][k]*bs;
}
p++;
}
for(int i=n;i>=1;i--){
if(abs(a[i][i])<eps) continue;
double val=a[i][n+1];
for(int j=1;j<=n;j++) val-=a[i][j]*ans[j];
ans[i]=val/a[i][i];
}
}
signed main(){
read(n,m);
for(int i=1;i<=m;i++){
read(b[i].u,b[i].v,b[i].w);
d[b[i].u]++;
if(b[i].u!=b[i].v) d[b[i].v]++;
}
for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=1.0/d[i];
double out=0;
for(int c=0;c<=30;c++){
int z=(1<<c);
for(int i=1;i<=id1(n-1);i++) for(int j=1;j<=id1(n-1)+1;j++) a[i][j]=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
auto[u,v,w]=b[i];
if(u==n||v==n) continue;
if(u==v){
if(w&z){
a[id1(u)][id0(u)]-=p[u];
a[id0(u)][id1(u)]-=p[u];
}
else{
a[id1(u)][id1(u)]-=p[u];
a[id0(u)][id0(u)]-=p[u];
}
continue;
}
if(w&z){
a[id1(u)][id0(v)]-=p[v];
a[id0(u)][id1(v)]-=p[v];
a[id1(v)][id0(u)]-=p[u];
a[id0(v)][id1(u)]-=p[u];
}
else{
a[id1(u)][id1(v)]-=p[v];
a[id0(u)][id0(v)]-=p[v];
a[id1(v)][id1(u)]-=p[u];
a[id0(v)][id0(u)]-=p[u];
}
}
a[id0(1)][id1(n-1)+1]=1;
for(int i=1;i<=id1(n-1);i++) a[i][i]++;
work(id1(n-1));
for(int i=1;i<=m;i++){
auto[u,v,w]=b[i];
if(u>v) swap(u,v);
if(u==v) continue;
if(v!=n) continue;
if(w&z) out+=p[u]*ans[id0(u)]*z;
else out+=p[u]*ans[id1(u)]*z;
}
}
printf("%.3lf",out);
return 0;
}