一、先装依赖（唯一一步准备）
NumPy 是 Python 线性代数标准库，一行命令安装：
pip install numpy二、向量（Vector）
1. 什么是向量？
有序的数字列表，可以理解为：
- 一维数组
- 空间中的一个点 / 方向
线性代数中默认列向量，Python 里用一维 / 二维数组表示都可以。
2. 创建向量
import numpy as np
# 1. 行向量（1行n列）
row_vec = np.array([1, 2, 3])
# 2. 列向量（n行1列）→ 线性代数标准形式
col_vec = np.array([[1], [2], [3]])
print("行向量：")
print(row_vec)
print("形状：", row_vec.shape) # (3,)
print("\n列向量：")
print(col_vec)
print("形状：", col_vec.shape) # (3, 1)3. 向量核心运算
v1 = np.array([1, 2, 3])
v2 = np.array([4, 5, 6])
# 1. 向量加法
print("加法：", v1 + v2) # [5 7 9]
# 2. 向量数乘（数字×向量）
print("数乘：", 2 * v1) # [2 4 6]
# 3. 点积（内积）→ 结果是一个数
dot = np.dot(v1, v2)
print("点积：", dot) # 1×4 + 2×5 + 3×6 = 32
# 4. 向量长度（模/范数）
norm = np.linalg.norm(v1)
print("向量长度：", norm)三、矩阵（Matrix）
1. 什么是矩阵？
二维数字表格，由行和列组成：
- m 行 n 列矩阵记作
m×n - 向量是特殊的矩阵（1×n 或 n×1）
2. 创建矩阵
# 2行3列矩阵
A = np.array([
[1, 2, 3],
[4, 5, 6]
])
print("矩阵 A：")
print(A)
print("形状：", A.shape) # (2, 3) → 2行3列3. 特殊常用矩阵
# 1. 零矩阵
zero = np.zeros((2, 3))
# 2. 单位矩阵（对角线1，其余0，必须是方阵）
I = np.eye(3)
# 3. 全1矩阵
ones = np.ones((2, 2))
print("单位矩阵：\n", I)4. 矩阵核心运算
A = np.array([[1,2],[3,4]])
B = np.array([[5,6],[7,8]])
# 1. 矩阵加法（形状必须相同）
print("A+B：\n", A + B)
# 2. 矩阵数乘
print("2×A：\n", 2 * A)
# 3. 矩阵转置（行变列，列变行）
print("A转置：\n", A.T)
# 4. 矩阵乘法（核心！）
# 规则：左矩阵列数 = 右矩阵行数
C = np.dot(A, B)
# 或者 A @ B（Python3.5+推荐）
print("A×B：\n", A @ B)5. 方阵必备运算（行数 = 列数）
A = np.array([[1,2],[3,4]])
# 1. 行列式（标量）
det = np.linalg.det(A)
print("行列式：", det)
# 2. 逆矩阵（A⁻¹，只有行列式≠0才有）
inv_A = np.linalg.inv(A)
print("逆矩阵：\n", inv_A)
# 验证：A × A⁻¹ = 单位矩阵
print("验证：\n", A @ inv_A)四、矩阵 × 向量（最常用组合）
这是机器学习、深度学习的基础运算：
# 2×2矩阵
A = np.array([[1,2],
[3,4]])
# 2×1列向量
v = np.array([[1],
[2]])
# 矩阵×向量
result = A @ v
print("矩阵×向量结果：\n", result)五、快速查表（速记）
| 运算 | Python 代码 |
|---|---|
| 向量点积 | np.dot(v1, v2) / v1@v2 |
| 向量长度 | np.linalg.norm(v) |
| 矩阵转置 | A.T |
| 矩阵乘法 | A @ B / np.dot(A,B) |
| 行列式 | np.linalg.det(A) |
| 逆矩阵 | np.linalg.inv(A) |
| 单位矩阵 | np.eye(n) |