一、什么是广度优先搜索
广度优先搜索（Breadth-First Search，简称BFS），也称为宽度优先搜索，是图与树结构中最基础的遍历算法之一。 与深度优先搜索（DFS）一路走到头再回溯 的遍历逻辑不同，BFS采用按层遍历的策略：从起点出发，先遍历所有与起点距离为1的节点，再遍历距离为2的节点，以此类推，逐层向外扩展，直到遍历完所有可达节点。
二、BFS的核心原理
- 核心数据结构：队列 BFS的「按层遍历」特性，完全依赖队列（Queue）的「先进先出（FIFO）」特性实现： 先进入队列的节点，会被优先处理，保证同一层的节点按顺序被遍历后进入队列的下一层节点，会排在当前层节点之后，保证遍历的层级顺序
- 核心规则：标记访问 图与树中可能存在环路或重复路径，因此BFS必须维护一个访问标记数组，记录节点是否已经被遍历过，避免重复处理导致死循环。
三、BFS的标准实现步骤
BFS的实现逻辑高度固定，所有场景下的BFS都遵循以下核心步骤：
- 初始化：创建队列，将起点加入队列，同时标记起点为已访问
- 循环处理：当队列不为空时，重复执行后续操作
- 取出队首：弹出队列最前端的节点，作为当前处理节点
- 处理节点：执行当前节点的业务逻辑（如输出、统计、计算距离等）
- 扩展邻接：遍历当前节点的所有邻接节点，将未访问的节点标记后加入队列
- 结束：队列为空时，所有可达节点遍历完成
四、BFS通用代码模板
以下为C++语言的标准BFS实现模板，适用于树、无向图、有向图的绝大多数场景：
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=2e5+10;
vector<ll> adj[MAXN];
bool vis[MAXN];
ll dis[MAXN];
void bfs(ll start){
queue<ll> q;
q.push(start);
vis[start]=true;
dis[start]=0;
while(!q.empty()){
ll u=q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<adj[u].size();i++){
ll v=adj[u][i];
if(!vis[v]){
vis[v]=true;
dis[v]=dis[u]+1;
q.push(v);
}
}
}
}
int main(){
ll n;
cin>>n;
for(ll i=1;i<=n-1;i++){
ll u,v;
cin>>u>>v;
adj[u].push_back(v);
adj[v].push_back(u);
}
bfs(1);
return 0;
}五、BFS的经典应用场景
BFS的「按层遍历」特性，使其在以下场景中成为最优解法：
- 树的层序遍历 层序遍历是树的基础遍历方式，要求按从上到下、同一层从左到右的顺序输出节点。BFS天然符合层序遍历的要求，是该问题的标准解法。
- 无权图的单源最短路径 对于所有边权都为1的无权图，BFS第一次到达某个节点时的距离，就是起点到该节点的最短距离。这是BFS最核心的应用之一，也是所有最短路算法中时间复杂度最低的解法。
- 连通性判断 判断图中两个节点是否连通，或统计图中连通块的数量，都可以通过BFS实现：从一个节点出发BFS，所有能遍历到的节点都属于同一个连通块。
- 树上奇偶层统计 对于树结构，BFS遍历得到的节点深度，天然具有奇偶交替的特性，因此可以快速统计所有深度为偶数/奇数的节点数量，是解决树上路径奇偶性问题的基础。
六、经典例题详解
例题1：树的子树大小计算
题目要求
给定一棵根为1的树，输出每个节点的子树大小。
解法思路
- 先通过BFS计算每个节点的深度，确定树的层级关系
- 按深度从大到小的顺序（从叶子到根），累加每个节点的子节点大小，即可得到子树大小
例题2：树上漫步（GESP202503六级）
题目要求
对于树上每个节点，求从该节点出发，走偶数步能到达的节点总数。
解法思路
- 从根节点1出发BFS，统计所有深度为偶数的节点总数`cnt0`，深度为奇数的节点总数`cnt1`
- 由于树是二分图，相邻节点的深度奇偶性必然相反，因此： - 深度为偶数的节点，走偶数步能到达的节点数 = `cnt0` - 深度为奇数的节点，走偶数步能到达的节点数 = `cnt1`
- 仅需一次BFS即可计算所有节点的答案，时间复杂度O(n)
七、BFS的复杂度与特点
时间复杂度
每个节点仅入队一次，每条边仅被遍历一次 - 总时间复杂度为 O(n + m)，其中n为节点数，m为边数，属于线性时间复杂度的遍历算法
空间复杂度
队列最多存储一层的节点，最坏情况下为O(n) - 访问标记、距离数组的空间复杂度为O(n) - 总空间复杂度为 O(n)
八、注意事项
- 标记访问：无标记的BFS会在有环图中陷入死循环
- 建图规则正确：无向图/树必须双向加边，有向图仅需单向加边
- 数组大小匹配：根据题目数据范围调整数组大小，避免越界