C++进阶：AVL树

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目录

1.AVL树的概念

[1.1 AVL树](#1.1 AVL树)

[1.2 平衡因子](#1.2 平衡因子)

2.AVL树的实现

[2.1 AVL树的结构](#2.1 AVL树的结构)

[2.2 AVL树的插入](#2.2 AVL树的插入)

[2.2.1 插入的过程](#2.2.1 插入的过程)

[2.2.2 平衡因子的更新](#2.2.2 平衡因子的更新)

[2.2.3 代码实现](#2.2.3 代码实现)

[2.3 旋转](#2.3 旋转)

[2.3.1 旋转的规则](#2.3.1 旋转的规则)

[2.3.2 右单旋](#2.3.2 右单旋)

[2.3.3 左单旋](#2.3.3 左单旋)

[2.3.4 左右双旋](#2.3.4 左右双旋)

[2.3.5 右左双旋](#2.3.5 右左双旋)

[2.4 AVL树查找](#2.4 AVL树查找)

---

1.AVL树的概念

1.1 AVL树

AVL树是最先发明的自平衡⼆叉搜索树，AVL是⼀颗空树 ，或者具备下列性质 的⼆叉搜索树：它的左右子树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树， 通过控制⾼度差去控制平衡。

1.2 平衡因子

AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因子 (balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，就像⼀个⻛向标⼀样。

2.AVL树的实现

2.1 AVL树的结构

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到 
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf; // balance factor
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{
	}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	//...
private:
	Node* _root = nullptr;
};

2.2 AVL树的插入

2.2.1 插入的过程

1）、插入⼀个值按**⼆叉搜索树规则**进⾏插⼊。

2）、新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根。

3）、更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束。

4）、更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

2.2.2 平衡因子的更新

更新规则：

1）、平衡因子=右子树⾼度-左子树⾼度

2）、只有**⼦树⾼度变化** 才会影响当前结点平衡因⼦。

3）、插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点 在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++ ，新增结点在parent的左⼦树，parent平衡因⼦--

4）、parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

停止更新条件：

1）、更新后 parent的平衡因⼦等于0，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。

2）、更新后 parent的平衡因⼦等于1或-1，说明更新前为0，高度改变因此要向上更新

3）、更新后 parent的平衡因⼦等于2或-2，更新前是1或-1，AVL树结构发生变化，需要旋转处理

2.2.3 代码实现

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
		// 更新平衡因⼦ 
		while (parent)
		{
			// 更新平衡因⼦ 
			if (cur == parent->_left)
				parent->_bf--;
			else
				parent->_bf++;
			if (parent->_bf == 0)
			{
				// 更新结束 
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				// 继续往上更新 
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 不平衡了，旋转处理 
				break;
			}
			else
			{
				// 插入之前平衡树就出问题了
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

2.3 旋转

2.3.1 旋转的规则

1）、保持搜索树的规则

2）、让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度

2.3.2 右单旋

1）、本图展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树， 是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种。

2）、旋转核⼼步骤，因为5 < b子树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新 的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	parent->_left = subLR;
	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;

	Node* pParent = parent->_parent;

	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;

	if (parent == _root)
	{
		_root = subL;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (pParent->_left == parent)
			pParent->_left = subL;
		else
			pParent->_right = subL;
		subL->_parent = pParent;
	}

	subL->_bf = 0;
	parent->_bf = 0;
}

2.3.3 左单旋

本图展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要

求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，

是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类

似。

void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	parent->_right = subRL;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;
	Node* parentParent = parent->_parent;
	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;

	if (parentParent == nullptr)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parent == parentParent->_left)
		{
			parentParent->_left = subR;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subR;
		}
		subR->_parent = parentParent;
	}
	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

2.3.4 左右双旋

1）、通过下图可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变 成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树 这棵树就平衡了。

2）、上图分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为 我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置 不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;
	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);
	if (bf == 0)
	{
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subL->_bf = -1;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

2.3.5 右左双旋

跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的 细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单 旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通 过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;
	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);
	if (bf == 0)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

2.4 AVL树查找

Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}
	return nullptr;
}

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