数据结构-平衡二叉树——对二叉搜索树的优化

二叉平衡树/平衡二叉树（Balanced Binary Tree ，即BBST），也名AVL树（为纪念提出这个结构的两人）。

平衡二叉树产生的由来

二叉平衡树本质上是对二叉搜索树的优化。由于二叉搜索树在构建过程中会出现左斜和右斜的情况（这是由于二叉搜索树树构建方式不唯一导致的）。如下图中对于数据 {1，2，3，4，5} 我们可以构建如下三棵树，但是三棵树的搜索效率却有极大差别。

而构建方式的差异会导致我们的搜索效率从O(logn)退化到O(n) 。这不是我们希望看到的结果。因此G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis（两个苏联人吧我记得是）提出了平衡二叉树 ，即AVL树。

基本概念

平衡二叉树在原有的二叉搜索树的概念下，引入了如下概念和定义：

平衡因子（Balanced Factor ，又写为BF ， bf）：BF = 节点的左子树深度 - 节点的右子树深度

对于一颗平衡二叉树而言，平衡因子的值应当为 $-1 , 1$ ，平衡因子超出 -1 和 1 的就不是平衡二叉树。

如下图

上面三个就是平衡二叉树，而下面两个就不是平衡二叉树（ 字比较丑，体谅一下**）**。

如何将二叉搜索树变为平衡二叉树

教科书给出的方法为以下四种（但在实际情况下这四种情况比较困难）。

很多文章和博客没有仔细讲解左旋和右旋的定义，导致我们看旋转过程非常懵逼（也可能他们也不太清楚），我这里给出左旋和右旋的定义。

记住：左旋和右旋是相对于某个节点来说的

左旋的定义

左旋是指将当前节点的父节点作为当前节点的左孩子，同时将当前节点作为原爷爷节点的孩子。

若当前节点已有左孩子，把左孩子（左子树）拆下来等旋转完成后重新插入

右旋的定义

右旋是指将当前节点的父节点作为当前节点的右孩子，同时将当前节点作为原爷爷节点的孩子。

若当前节点已有右孩子，将右孩子（右子树）拆下来，等右旋完成后重新插入

左左型（LL）

对于这种情况，我们需要对这棵树（或子树）进行右旋。

进行右旋后，该树的根节点BF值从 2 变为 0，也就是说，在我们完成右旋操作后，将一棵二叉搜索树变为了二叉平衡树。

右右型（RR）

对于这种情况，我们需要对树（子树）进行左旋

进行左旋后，根节点平衡因子由 -2 变为 0

左右型（LR）

左右型是指在当前节点的左孩子的右方插入节点导致树不平衡

我们需要进行两次旋转------先左旋后右旋。

通过先左旋后右旋我们将二叉搜索树变为了二叉平衡树。

右左型（RL）

右左型是指在当前节点的右孩子的左方插入节点导致树不平衡

我们需要先右旋后左旋来平衡树

这样我们就平衡了二叉搜索树。

综合实现

当我们插入节点时，我们需要沿着插入节点的地方一路向上搜素知道找到第一个BF不在 $-1 , 1$ 中的节点，然后开始旋转。

比如我们按照 {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} 这个数值开始创建，每插入一次就检查一次，以保证二叉搜索树的平衡。

简单代码实现

这里我只写左旋和右旋的代码了，剩下的地方和二叉搜索树区别不大

定义平衡二叉树

cpp 复制代码

typedef struct BBSTNode {
    int data;
    int count;
    struct BBSTNode* left;
    struct BBSTNode* right;
    struct BBSTNode* parent;
}BBSTNode;

左旋代码

cpp 复制代码

void RotateLeft(BBSTNode *target){
    BBSTNode *curr = target;
    //分情况判断 有无左子树
    if(curr -> left == NULL){
        curr -> left = target;
        if(target -> left == curr) target -> left = NULL;
        else if(target -> right == curr) target -> right = NULL;
        curr -> parent = target -> parent;
        target -> parent = curr;
    }else{
        BBSTNode *temp_node = curr -> left;
        temp_node -> parent = NULL;
        RotateLeft(target);
        Insert(temp_node);
    }
}

右旋代码

cpp 复制代码

void RotateRight(BBSTNode *target){
    BBSTNode *curr = target;
    //分情况判断 有无右子树
    if(curr -> right == NULL){
        curr -> right = target;
        curr -> parent = target -> parent;
        target -> parent = curr;
        if(target -> left == curr) target -> left = NULL;
        else if(target -> right == curr) target -> right = NULL;
    }else{
        BBSTNode *temp_node = curr -> right;
        temp_node -> parent = NULL;
        RotateRight(target);
        Insert(temp_node);
    }
}

代码没运行过，我自己写的，不保证正确性，但是应该是没有问题的

总结

AVL树就是对二叉搜索树的优化，除了需要左旋和右旋，其他地方与二叉搜索树基本没有差别。优化后的二叉搜索树可以保证 O(logn) 的复杂度。反正二叉平衡树是好东西啊好东西，咱得学。