y1,y2总复习笔记5 2026.7.19

一，树状数组尾声

仅一个题目：树状数组求解最长上升子序列

思路：设置dp $i$ 维护以a $i$ 为结尾的最长上升子序列长度

条件：若有a $j$ 满足(1)j<i (2)a $j$ <a $i$ 则有dp $i$ =dp $j$ +1

若保证dp $i$ 最大即在满足(1)(2)条件下使dp $j$ 最大

求最大值的过程使用树状数组维护

有函数

ask(pos)：查询值域 $1,pos$ \内最大的 dp 值；

update(k,v)：在值域 k 的位置，更新保存更大的 dp 值 v

这是整体思路，详细解析在注释

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,a[N],c[N],dp[N],ans;
int lowbit(int n){
	return n&-n;
}
void update(int k,int v){
	for(int i=k;i<N;i+=lowbit(i)){
		c[i]=max(c[i],v);
	}
}
int ask(int pos){
	int ans=0;
	for(int i=pos;i;i-=lowbit(i)){
		ans=max(ans,c[i]);
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i]++;
	}
	//c[x] 维护值等于 x 的位置对应的最长上升子序列长度最大值
	//更新条件(1)i<j(2)a[i]<a[j]
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i]=ask(a[i]-1)+1;
		//查询值域[1,a[i]-1](前缀)所有对应的dp值的最大值
        //后面a[i+1]到a[n]没update能保证位置i<j(1)
        //值域到a[i]-1保证a[j]值一定小于当前位置值a[i](2)，+1即表示接上a[i]
		update(a[i],dp[i]);
		ans=max(ans,dp[i]);//所有位置最长上升子序列的最大值即为答案
	}
	printf("%d\n",ans);
}

二，拓扑排序

适用于有向无环图 DAG，若图有环则不存在拓扑序

图中任意一条有向边 u to v，顶点 u 在序列里一定出现在顶点 v 的前面 ，则这个序列就称为图 G 的拓扑序列 ，求解该序列的过程叫做拓扑排序。

求解过程就是先设置队列，后遍历全图的点，若该点入度为0入队，后一直遍历队列出队直到队列为空，遍历队列中点的临界点，若其入度为0入队

模板如下

cpp 复制代码

void kahn(){
    queue<int> q;
    // 入度为0的点入队
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(in[i]==0) q.push(i);
    
    while(!q.empty()){
        int u=q.front(); q.pop();
        topo.push_back(u);
        for(int v:g[u]){
            in[v]--;
            if(in[v]==0) q.push(v);
        }
    }
}
main函数
for(int i=1;i<=m;i++){
    int u,v; cin>>u>>v;
    g[u].push_back(v);
    in[v]++；
}
kahn();

例题解析：食物链

非常典型的模板

如图所示为某生态系统的食物网示意图，据图回答问题。

现在给你n个物种和m条能量流动关系，求其中的食物链条数。

物种的名称为从1到n编号

M条能量流动关系形如

a1 b1

a2 b2

a3 b3

......

am-1 bm-1

am bm

其中ai bi表示能量从物种ai流向物种bi,注意单独的一种孤立生物不算一条食物链

我们分析题目

食物网 = 有向无环图 DAG（自然界不会出现捕食环，不存在循环），可以用拓扑排序 + DP 求解。

设 dp $u$ ：以 u 为终点的完整食物链数量。

若 u 是生产者（入度 = 0）：它自己不能算食物链，但它是路径起点，dp $u$ = 1（代表一条待延伸的起始链）；
若 u 不是生产者：()（所有有边的 v 的 dp 值相加）。

学过八下生物的都知道，在计算食物链条数的时候，若一点链接到该点，该点的食物链数量可以继承那一个点的食物链数量，若有多点则可全部继承进行累加

我们再看第一个点，生产者虽不算一条食物链，但任意一点链接生产者都可以构成一条食物链，根据上面的继承理论，有dp $生产者$ =1

输出方面：只有出度 = 0 的点才是食物链终点，遍历所有点 u：如果 out $u$ = 0，就把 dp $u$ 累加到总答案里。原因：只有走到没有下一捕食者的生物，才是一条完整食物链。

代码如下

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
const int N=2e5+5;
using namespace std;
int n,m,in[N],out[N],dp[N],ans;
vector<int> g[N];
void tuopu(){
	queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!in[i]&&out[i])  q.push(i),dp[i]=1;
    }
    //dp[i]以i为终点的食物链条数
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int v:g[u]){
            in[v]--;
            dp[v]+=dp[u];
            if(!in[v])    q.push(v);
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        g[u].push_back(v);
        in[v]++;out[u]++;
    }
    tuopu();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!out[i]) ans+=dp[i];
    }
    cout<<ans;
}

三，并查集初步

树形结构，能够快速进行合并和查询的集合

作用：快速判断两点是否连通、合并连通块

模板如下：

cpp 复制代码

初始化
for(int i=1;i<=n;i++){
	fa[i]=i;
} 
找祖先
int Find(int x){
	if(x==fa[x])	return x;
	return fa[x]=Find(fa[x]);
} 
合并
void merge(int x,int y){
	x=Find(x),y=Find(y);
	if(x==y)	return ;
	if(sz[x]>sz[y])	swap(x,y);
	fa[x]=y;
	sz[y]+=sz[x];
}

今天到这