【并查集】判环

题意梳理

(n* n) 棋盘，m 个车，初始无两车同行同列；
单次操作：移动一个车任意横竖距离，移动后仍不能同行同列；
目标：让所有车放到主对角线 (i,i)，求最小移动次数；
关键：(m<n)，棋盘存在空行空列。

Problem - 1411C - Codeforces

一、为什么要把题目转换成图结构

原始棋盘限制所有车不会同行、同列，也就是说每一个列数字只出现一次，每一个行数字只出现一次。把列编号、行编号全部当成普通数字点，一辆车坐标 (x,y)，就代表数字 x 和数字 y 存在绑定关系。
连通块等价含义如果两个数字在同一个连通块里，代表块内所有行列上的车，依靠题目允许的移动规则，可以自由调换位置，没有永久冲突。我们最终目标是让数字 k 的列匹配数字 k 的行，也就是位置 (k,k)。
两种连通块带来不同代价

链型块：块里点的数量 > 块里车的数量没有互相卡死的情况，每一辆不在对角线上的车，只需要移动一次就能归位，没有额外开销。
环型块：块里点的数量 = 块里车的数量环里所有车辆互相占用对方需要的行 / 列，直接移动一定会冲突。题目保证 m<n，棋盘存在空行列，必须先挪一辆车去空位中转，每一个环额外多消耗一次操作。

特殊车辆处理如果一辆车坐标 (x,x)，本身就在主对角线上，不需要移动，不参与建图、不计入移动总量。

二、文字符号定义（纯文本，可直接复制）

R：全部车辆集合，每个元素是一对数字 (x,y) cnt：满足 x≠y 的车辆总数量，每一台基础消耗 1 次移动

R(x≠y) = cnt

G：仅由 x≠y 的车辆构建的无向图 S：图 G 里任意一个连通块 |S|：连通块 S 包含的数字点总数 E (S)：连通块 S 内部包含的车辆（边）总数
判断一个连通块是环的条件 E (S) > 0 并且 |S| == E (S)
loop：图 G 中所有满足上面条件的环连通块总个数
最终答案计算式 ans = cnt + loop

三、并查集数组对应含义

fa $u$ ：数字 u 在并查集中的父节点 siz $rt$ ：根为 rt 的连通块，包含的点总数，对应 | S| cntE $rt$ ：根为 rt 的连通块，包含的有效车辆数量，对应 E (S) vis $rt$ ：标记该连通块根是否已经统计过，防止重复计算环

复制代码

#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAX = 100010;
int fa[MAX], siz[MAX], cntE[MAX];
bool vis[MAX];

int find(int x) {
    if (fa[x] != x) fa[x] = find(fa[x]);
    return fa[x];
}

int main() {
    int t; scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            fa[i] = i, siz[i] = 1, cntE[i] = 0, vis[i] = 0;
        }
        int cnt = 0;
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
            if (x == y) continue;
            cnt++;
            int fx = find(x), fy = find(y);
            if (fx != fy) {
                fa[fy] = fx;
                siz[fx] += siz[fy];
                cntE[fx] += cntE[fy];
            }
            cntE[fx]++;
        }
        int loop = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int rt = find(i);
            if (!vis[rt]) {
                vis[rt] = 1;
                if (cntE[rt] && siz[rt] == cntE[rt]) loop++;
            }
        }
        printf("%d\n", cnt + loop);
    }
    return 0;
}