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1.摘要
面向客货协同地铁运营，在需求和装载状态随时间变化的条件下，本文提出列车车厢动态分配策略。模型同时考虑乘客等待时间和货运利润，并转化为最大化系统整体收益的统一目标。为高效求解，设计基于 VNS 混合数学启发式框架，单向地铁线路实验表明，该方法无需增加列车即可提升利用率和收益，说明客货协同地铁具有可持续城市物流潜力。
2.问题描述与数学模型
考虑单条地铁线路在既定时段 0 , Γ 0,\\Gamma 0,Γ 内运行。车站集合为 S = { 1 , 2 , ... , ∣ S ∣ } S=\{1,2,\ldots,|S|\} S={1,2,...,∣S∣}，列车集合为 T = { 1 , 2 , ... , ∣ T ∣ } T=\{1,2,\ldots,|T|\} T={1,2,...,∣T∣}。每列车有固定车厢数，每节车厢可载客或装标准集装箱。上游车站为货运保留的车厢，在货物到站卸下后释放给乘客使用，因此货运车厢数沿下游递减。目标是在不损害乘客服务的前提下，让空余容量承载货物。
运营流程中，乘客与货物流分区组织，货物在站台附近专用区域暂存，装卸通过车厢独立门完成。示例表明，动态分配车厢可在保持总等待时间不恶化的同时，使客流分布更均衡，并完成标准集装箱运输，提升收益。
模型假设货物以标准集装箱运输，每票货物只能由一列车完成，不能拆分；货运需求和时间窗已知，无法按窗运输的货物由其他方式处理；客流需求由预测给定，系统总体运能足以服务所有乘客；乘客按组随机到达，按目的地比例登车。决策变量包括货运车厢数 n i , k n_{i,k} ni,k、货物是否装入列车 x i , m x_{i,m} xi,m、登车人数 b i , k b_{i,k} bi,k、等待人数 w i , k w_{i,k} wi,k、滞留人数 l i , k l_{i,k} li,k、下车人数 a i , k a_{i,k} ai,k、车上人数 v i , k v_{i,k} vi,k 和剩余载客能力 c i , k c_{i,k} ci,k。
乘客等待成本和货运利润分别为：
C t i m e = c w a i t ∑ k ∈ S ∖ { ∣ S ∣ } ∫ 0 Γ w k ( t ) d t . (21) C_{time}=c_{wait}\sum_{k\in S\setminus\{|S|\}}\int_0^{\Gamma}w_k(t)dt. \tag{21} Ctime=cwaitk∈S∖{∣S∣}∑∫0Γwk(t)dt.(21)
P p r o f i t = R ∑ m = 1 ∣ F ∣ ( q m l o m , d m D ∑ i = 1 ∣ T ∣ x m , i ) − c l o a d ∑ m = 1 ∣ F ∣ ( q m ∑ i = 1 ∣ T ∣ x m , i ) . P_{profit}=R\sum_{m=1}^{|F|}\left(q_m l^D_{o_m,d_m}\sum_{i=1}^{|T|}x_{m,i}\right)- c_{load}\sum_{m=1}^{|F|}\left(q_m\sum_{i=1}^{|T|}x_{m,i}\right). Pprofit=Rm=1∑∣F∣ qmlom,dmDi=1∑∣T∣xm,i −cloadm=1∑∣F∣ qmi=1∑∣T∣xm,i .
加权转单目标：
用加权和转为单目标：
{ min α C t i m e − β P p r o f i t , s.t. ( 1 ) − ( 20 ) , n i , k ∈ Z + , x m , i ∈ { 0 , 1 } , α + β = 1. \begin{cases} \min\ \alpha C_{time}-\beta P_{profit},\\ \text{s.t. }(1)-(20),\\ n_{i,k}\in\mathbb{Z}+,\quad x{m,i}\in\{0,1\},\quad \alpha+\beta=1. \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧min αCtime−βPprofit,s.t. (1)−(20),ni,k∈Z+,xm,i∈{0,1},α+β=1.
3.算法
论文本质是带客货耦合广义分配问题，设计基于 VNS 混合数学启发式。固定车厢分配后，乘客服务用顺序客流仿真评估，货运利润通过嵌入式 ILP 由 CPLEX 求解。为加速，ILP 模型只初始化一次，搜索中只更新货运容量约束右端项；上一轮货运分配作为 warm start；每次 ILP 设定时间上限和 MIP gap。
VNS加速启发式框架
框架由 shaking、VND 局部搜索和 move-or-not 三部分构成。先随机生成满足递减约束的初始车厢分配 r r r，计算评价值 f ( r ) f(r) f(r)。搜索中，shaking 扰动当前解，VND 在多个邻域中用 best-improvement 得到局部最优。若新解更优则更新并回到第一邻域，否则进入下一邻域。
评价函数
候选解评价函数为：
f ( r ) = α C t i m e r − β P p r o f i t r + ∑ k ∈ S ∖ { ∣ S ∣ } l ∣ T ∣ , k r M 1 + ∑ k ∈ S ∖ { ∣ S ∣ } max { ( w k ( t ) − U k ) M 2 , 0 } + ∑ k ∈ S ∖ { ∣ S ∣ } max { ( w k ∑ p ∈ { p ′ ∈ P ∣ o p ′ = k } n p − A k ) M 3 , 0 } . \begin{aligned} f(r)=&\ \alpha C_{time}^r-\beta P_{profit}^r+ \sum_{k\in S\setminus\{|S|\}}l^r_{|T|,k}M_1\\ &+\sum_{k\in S\setminus\{|S|\}}\max\{(w_k(t)-U_k)M_2,0\}\\ &+\sum_{k\in S\setminus\{|S|\}}\max\left\{\left(\frac{w_k}{\sum_{p\in\{p'\in P\mid o_{p'}=k\}}n_p}-A_k\right)M_3,0\right\}. \end{aligned} f(r)= αCtimer−βPprofitr+k∈S∖{∣S∣}∑l∣T∣,krM1+k∈S∖{∣S∣}∑max{(wk(t)−Uk)M2,0}+k∈S∖{∣S∣}∑max{(∑p∈{p′∈P∣op′=k}npwk−Ak)M3,0}.
后三项惩罚未服务乘客、站台超限和平均等待时间超限，引导搜索进入可行区域。
邻域结构
采用 2-opt-swap、Insertion-t 和 Alter-t 三类邻域。2-opt-swap 交换两列车的车厢分配方案；Insertion-t 将某列车分配方案插入到其他位置；Alter-t 调整指定列车和车站的货运车厢数。每次修改后用修复过程保持 n i , k ≥ n i , k + 1 n_{i,k}\ge n_{i,k+1} ni,k≥ni,k+1 等递减可行性。
4.仿真实验
实验为 8 站单向地铁线，9:00--10:00 期间共有 18459 名乘客，11 列车，每 6 分钟一班。每列 6 节车厢，每节可载 300 人或 10 个标准集装箱。站台安全阈值 1800 人，等待成本为 0.1 元/分钟，最大平均等待上限设为 20 分钟。未考虑货运时，总等待时间为 83859 分钟，4 号站等待最长，9:17--9:20 超过安全阈值，峰值 1985 人。
乘客流演化由仿真评估，货运利润由嵌入式 ILP 和 CPLEX 计算。实验表明，该方法能在合理时间内得到稳定高质量解，缓解拥挤、提升货运收益，并平衡乘客服务与货运利用。
5.参考文献
Wang C, Xu G, Qin J. Optimizing the collaborative transportation of passengers and freight: Dynamic train capacity allocation for an integrated metro systemJ. Computers & Industrial Engineering, 2026: 112166.
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