【数学-简单数论】同余中的逆

**同余中的逆（乘法逆元）**是连接CSP-J和CSP-S的重要概念，理解它会让你的数论知识更成体系。

下面我为你系统讲解"逆"是什么、怎么求、以及CSP-J/CSP-S中可能出现的典型例题。

一、什么是乘法逆元？

1.1 从"倒数"说起

1.2 举个具体例子

二、逆元存在的条件（重点！）

核心定理：

a 在模 m 下存在乘法逆元 ⇔ gcd(a, m) = 1（a 和 m 互质）

为什么？

方程 ax≡1(modm)ax≡1(modm) 等价于 ax−my=1ax−my=1，即 ax+my=1ax+my=1。

根据裴蜀定理，这个方程有整数解当且仅当 gcd(a, m) | 1，即 gcd(a, m) = 1。

特例： 当模数 m 是质数 p 时，只要 a 不是 p 的倍数，就一定有逆元。

判断练习：

a	m	gcd(a,m)	是否有逆元
3	10	1	✅ 有
2	10	2	❌ 无
4	9	1	✅ 有
6	9	3	❌ 无
7	13	1	✅ 有

三、求逆元的三种方法

方法1：枚举法（适合小模数）

适用场景： m 很小（CSP-J级别）

步骤： 从 1 到 m-1 枚举 b，检查 a×b≡1(modm)a×b≡1(modm)

cpp 复制代码

int inv(int a, int m) {
    for (int b = 1; b < m; b++) {
        if ((a * b) % m == 1) return b;
    }
    return -1;  // 不存在逆元
}

例题： 求 4 在模 9 下的逆元。

枚举：4×1=4，4×2=8，4×3=12≡3，4×4=16≡7，4×5=20≡2，4×6=24≡6，4×7=28≡1 ✓
答案：7

方法2：扩展欧几里得算法（CSP-S要求）

原理： 求 ax+my=1ax+my=1 的一组整数解，x 就是 a 的逆元。

cpp 复制代码

// 扩展欧几里得：返回 gcd(a,b)，同时求出 ax + by = gcd(a,b) 的一组解
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int x1, y1;
    int g = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - (a / b) * y1;
    return g;
}

// 求 a 在模 m 下的逆元（要求 gcd(a,m)=1）
int modInv(int a, int m) {
    int x, y;
    int g = exgcd(a, m, x, y);
    if (g != 1) return -1;  // 不存在逆元
    return (x % m + m) % m;  // 保证结果为正
}

方法3：费马小定理（模数为质数时）

cpp 复制代码

// 用快速幂求 a^{p-2} mod p
int modInv(int a, int p) {
    return quickPow(a, p-2, p);  // p 必须为质数
}

四、逆元的核心应用

应用1：解同余方程

应用2：模意义下的除法

应用3：组合数取模（CSP-S重点）

五、CSP-J 典型例题（概念判断型）

例题1（存在性判断）

题目： 在模 8 的意义下，下列哪个数存在乘法逆元？

A. 2　　B. 3　　C. 4　　D. 6

答案：B

解析： 存在逆元 ⇔ gcd(a,8)=1

gcd(2,8)=2 ❌
gcd(3,8)=1 ✅
gcd(4,8)=4 ❌
gcd(6,8)=2 ❌

选B。

例题2（同余方程）

题目： 同余方程 5x≡3(mod7)5x≡3(mod7) 的解是（）

A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4

答案：B

解析： 5 在模 7 下的逆元是 3（5×3=15≡1）

x ≡ 3×3 = 9 ≡ 2 (mod 7)

验证：5×2=10≡3 ✓

选B。

例题3（模运算变形）

题目： 已知 a≡2(mod5)a≡2(mod5)，b≡3(mod5)b≡3(mod5)，则 a×(mod5) 的值为（）

A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4

答案：D

解析： 3 在模 5 下的逆元是 2（3×2=6≡1）

a × ≡ 2 × 2 = 4 (mod 5)

选D。