力扣1012数位DP解法详解

问题本质 ：计算 [1, N] 范围内至少有一位重复数字 的正整数个数。直接计算较难，可转化为计算没有重复数字 的数的个数（即各位数字互不相同的数），然后用总数 N 减去该值。

核心思路 ：计算 [1, N] 范围内数位互不相同的数的个数。

数位 DP 状态设计 ：dp[pos][mask][isLimit][isNum]
- pos: 当前处理到数字的第几位（从高位到低位）。
- mask: 一个位掩码（10位），记录 0~9 哪些数字已被使用过。
- isLimit: 当前位是否受到 N 对应位的限制（即之前所有位都与 N 相同）。
- isNum: 当前是否已经开始构造数字（避免前导零被误判为使用数字0）。
记忆化搜索 ：从最高位开始递归填充每一位，在 !isLimit && isNum 时缓存结果。
最终答案 ：N - countUnique(N)。

C++ 代码实现：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int numDupDigitsAtMostN(int n) {
        string s = to_string(n);
        int m = s.length();
        // dp[pos][mask] 记忆化，isLimit=false 且 isNum=true 时才缓存 vector<vector<int>> memo(m, vector<int>(1 << 10, -1));
        
        // 返回从 pos 开始构造，已使用数字掩码为 mask，能构造出的无重复数字的数的个数
        // isLimit: 当前位是否受 n 的限制 // isNum:是否已经开始构造数字（即是否跳过了前导零）
        function<int(int, int, bool, bool)> dfs = [&](int pos, int mask, bool isLimit, bool isNum) -> int {
            if (pos == m) {
                // 构造完成，如果已经开始构造数字（isNum=true），则算一个有效数字 return isNum ? 1 : 0;
            }
            // 记忆化：只有在不受限制且已经开始构造数字时，结果才是可复用的 if (!isLimit && isNum && memo[pos][mask] != -1) {
                return memo[pos][mask];
            }
            int res = 0;
            // 如果之前还没有开始构造数字，这一位可以选择继续跳过（即仍然不构造数字）
            if (!isNum) {
                // 跳过当前位，即这一位不填数字，mask 不变，isLimit=false（因为跳过了，相当于填了0，但0不计入数字，所以不受原数限制）
                res += dfs(pos + 1, mask, false, false);
            }
            // 确定当前位可以填的数字范围
            int low = isNum ? 0 : 1; // 如果还没开始构造，不能填0（避免前导零）
            int high = isLimit ? s[pos] - '0' : 9;
            // 枚举当前位可以填的数字
            for (int d = low; d <= high; ++d) {
                // 检查数字 d 是否已经被使用过 if ((mask >> d) & 1) continue; // 被使用过，跳过 // 填入数字 d，更新 mask，更新 isLimit（如果之前受限且当前位填的是上限值，则后续仍受限）
                res += dfs(pos + 1, mask | (1 << d), isLimit && (d == high), true);
            }
            // 缓存结果：只有不受限制且已经开始构造数字的状态才缓存 if (!isLimit && isNum) {
                memo[pos][mask] = res;
            }
            return res;
        };
 // 总共有 n 个数，减去没有重复数字的数的个数，即为至少有一位重复的数字的个数 return n - dfs(0, 0, true, false);
    }
};

复杂度分析：

时间复杂度 ：O(m * 2^10 *10)，其中 m 是 N 的位数（最大为10）。状态数为 m * 2^10，每个状态最多枚举 10 个数字。
空间复杂度：O(m * 2^10)，用于记忆化存储。

力扣1012数位DP解法详解

参考来源