妙用位运算：解构汉明距离至100%（提供分析与多解）

名称：Doubletful的博客 💠算法专栏 签名：路漫漫其修远兮，吾将上下而求索

文章目录

- 前言
一、二进制计算简介
二、题目
- [解法一：>> 操作符遍历统计](#解法一：>> 操作符遍历统计)
- [解法二：Brian Kernighan 算法遍历统计](#解法二：Brian Kernighan 算法遍历统计)
- 解法三：掩码分治统计
三、总结
四、练习

前言

在数字世界的底层，万物皆为二进制，当我们比较两个整数时，一个有趣的度量方式不是看它们数值差多少，而是看它们在二进制形态下"长得有多不像"，这种度量在信息论中被称为汉明距离。

文章概述：

本文将使用 c 语言通解 LeetCode 题目：461. 汉明距离。
将提供三种逐步优化的解法使时间复杂度缩短至 O(1)。
提供基础位运算简介以便初学者阅读，可跳过。

一、二进制计算简介

1.二进制操作符

1.1.位操作符

🔹按位与 &：按照对应的二进制位进行与运算，同时为1才为1，

二进制例：1100 & 0011 == 0000，1010 & 1000 == 1000。

🔸按位或 |：按照对应的二进制位进行或运算，同时为0才为0，

二进制例：1100 | 0011 == 1111，1010 | 1000 == 1010。

🔹按位异或 ^：按照对应的二进制位进行异或运算，相同为0，相异为1，

二进制例：1100 ^ 0011 == 1111，1010 ^ 1000 == 0010。

🔸按位取反 ~：按照对应的二进制位进行取反运算，将0和1互换，

二进制例：~1100 == 0011，~1010 == 0101，~1000 == 0111。

1.2.移位操作符

🔹左移操作符 <<：

语法为：被移动整数 << 移动位数，规则是左边丢弃，右边填充0。

二进制例：00011000 << 1 == 00110000。

🔸右移操作符 >>：

语法为：被移动整数 >> 移动位数，规则分为两种情况，逻辑右移和算术右移，大部分编译器采用算术右移。逻辑右移：左边填充0，右边丢弃。算术右移：左边用该值的符号位填充，右边丢弃。

二进制例：00011000 >> 1 == 00001100。

注：位操作符和移位操作符都只能对整数进行操作。

2.进制转换

⇒二进制转八进制：

从二进制的低位开始每3个二进制位转换为一个八进制位，剩余直接转化。

例：二进制为 10111，八进制为 27，十进制为 23。

⇒二进制转十六进制：

从二进制的低位开始每4个二进制位转换为一个十六进制位，剩余直接转化。

例：二进制为 1010011，十六进制为 53，十进制为 83。

接下来，是正题部分：

二、题目

先看题目：

我们被要求计算两个 32 位整数的汉明距离，即 x 与 y 不同二进制位的个数。

解法一：>> 操作符遍历统计

首先计算 x ^= y。异或运算的本质是"相同为0，不同为1"，因此新 x 的二进制表示中有多少个 1，就代表原数有多少个不同的位。利用 >> 操作符遍历 x 的每一位并使用 & 操作符判断 x 的每一位是否为 1 记录不同位的个数。

解法二：Brian Kernighan 算法遍历统计

有一个极其巧妙的位运算性质：n & (n - 1) 的结果会将 n 的二进制中最右边的 1 变为 0，图例如下：

设有一个二进制数为 10000，当这个数减 1 时结果是 01111，10000 & 01111 正好等于 0，因为每次减 1 都会使二进制数上最右边的 1 退位，使在该数位前的全 0 位变为全 1 位并将该数位变为 0，& 操作正好就将减 1 前的二进制数与减 1 后的二进制数有 1 的位全部对应有 0 的位，抹除最右边的 1。

解法三：掩码分治统计

这是本篇文章的重头戏，也是计算机底层架构（如 CPU 指令 POPCNT）实现统计 1 个数的数学原理。它不再依赖循环，而是通过二分法将位数累加。

初看代码会非常奇怪，这些十六进制数代表什么意思，为什么 x 要 & 这些数后又将 x 右移并再次 & 它们，为什么这样就能计算新 x 中为 1 的二进制位个数了------我们逐步拆解，先看这些十六进制数代表什么：

一个十六进制位等于四个二进制位，将这些十六进制数转换为二进制后：

0x55555555 = 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101
0x33333333 = 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011
0x0f0f0f0f = 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111
0x00ff00ff = 0000 0000 1111 1111 0000 0000 1111 1111
0x0000ffff = 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111

可以观察到有一定规律，它们的二进制特征分别是：

0x55555555（单个位交替，用于隔离相邻的奇偶位）
0x33333333（两位交替，用于隔离相邻的 4 位中的低 2 位）
0x0F0F0F0F（四位交替，用于隔离相邻的 8 位中的低 4 位）
0x00FF00FF（八位交替，用于隔离相邻的 16 位中的低 8 位）
0x0000FFFF （十六位交替，用于隔离高 16 位和低 16 位）

这些位中的 0 都用于隔离，1 都用于保留计算，0x55555555 的作用有些特殊，它先以每 1 位统计 x 中 1 的个数并将个数存储进对应的两位中，也就是先转换，将代表 x 与 y 在哪一位不同的 1 转换为以每两位分隔的实际不同位的数量，注意该意义转换目前只在每两位中生效 。

而除 0x55555555 以外的值都在做被分隔的实际不同位数量的合并操作，最终合并为 32 位表示的实际不同位数量，也就是正确的十进制表示。

& 运算、>> 运算与加法解读：

在理解了这些数字在代码中的作用后，再看 x 分别直接进行 & 运算和 x 先右移再进行 & 运算就非常通俗易懂了，如下所示：

❇️2 位一组：将 x 分为每 2 位一组，计算每组中 1 的个数。

x & 0x55555555 取出奇数位的 1，右移后取出偶数位的 1，二者相加，结果以二进制形式保存在原来的 2 位空间中。

❇️4 位一组：将上一步的结果每 4 位一组，计算每组中 1 的个数。

x & 0x33333333 先取出前两位的个数，右移后再取出后两位的个数，最后相加，结果以二进制形式保存在原来的 4 位空间中。

........................

❇️归并到 32 位：最终得到整个 32 位整数中 1 的总数。

三、总结

通过这道经典的汉明距离题目，我们清晰地看到了算法演进的三个层次：

解法	核心思想	优点	缺点
解法一	逐位右移检查	直观易懂，符合第一反应	固定循环 32 次，存在冗余操作
解法二	清除最低位的 1	循环次数仅与 1 的个数有关，实战效率高	依然依赖循环，无法利用现代 CPU 并行特性
解法三	二进制并行加法，树状归并	无分支、无循环，性能极致，体现了位运算的数学之美	可读性较差，需要深刻理解二进制分治原理

四、练习

推荐手动在LeetCode网站上实现三种解法：

汉明距离 && 链接：link.

⚛️EL PSY CONGROO，十分感谢你的阅读

本期不确定：

是否应该添加掩码分治统计执行图例