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一、电路三种分析方法的演化与差异
初学自控控制原理第二章电路建模的时候，发现多了一种分析方法：复阻抗，于是我产生了疑惑：它和常规的时域分析法、相量法有什么不同呢？我们已经有了普通的微分时域分析法和正弦稳态时候的相量分析法，为什么还需要引入复阻抗分析法？本篇文章以此为由，开始讲解。
（1）时域分析法的痛点：微分方程难以分析计算
（2）相量法：正弦稳态情况下的简化分析法
由于相量法是纯粹在时域中推导得来的，**（尽管他使用了旋转因子j）**所以可以直接进行时域中的欧姆定律叠加，只不过阻抗换成了相量的形式。
不过由于相量法是在纯正弦稳态中推导出来的结论，即只能分析工作在稳态时候的交流设备。如果非正弦稳态情况，则求导结果根本无法用jw这种简单的旋转因子表示，从而失效，这也是相量法的局限所在。
而自动控制原理很喜欢对暂态过程进行建模分析，所以一般自控中看不到相量法的应用，它只存在于理论的电路分析中。
（3）复阻抗法：一般情况的通用分析法
3.1三大元件复阻抗的推导
3.2验证复阻抗满足欧姆定律
我们以上面时域分析时候的串联RLC图为例，这里我们仅仅验证了串联是成立的，它本质上是拉普拉斯变换的线性性质的体现，即分别对时域的各个因子做拉氏变换。至于并联虽然这里没有验证，但证明起来并不很困难，大家以后记住复阻抗在频域内满足常规的串并联即可。
复阻抗最大的优点就是将微分方程转换为了频域内的加减运算，极大程度降低了计算难度。不过正是因此，如果想要求时域的变化情况，则需要对频域复阻抗方程用一次拉普拉斯逆变换才行。
（4）相量法和复阻抗法的关联
细心的同学可以发现，相量法和复阻抗法的差异似乎仅仅在于S的取值情况上：
所以相量法可以理解成特殊的复阻抗法，正是因为这个特殊性导致其失去了分析暂态过程的能力，从而沦落为正弦稳态的分析工具。
当然这里的σ符号可能会涉及到课程后期的根轨迹等问题，在此时引入为时过早，我们暂时就只记住相量法是复阻抗法的特殊形式即可。
二、传递函数
之前的文章中我们分析了如何利用拉普拉斯变换解微分方程，但你有没有思考过：这个微分方程从何而来呢？既然已经有了复阻抗帮助我们快速列写微分方程，那么列写的方程如何才能满足有理真分式的条件从而使用留数法求解呢？
其实传递函数必定是有理真分式，所以只要我们讨论的是传递函数就可以不假任何思索地直接诶使用留数法求拉普拉斯逆变换，下面我们这里来讨论一下传递函数到底是什么。
（1）传递函数的定义
传递函数是在系统零初始条件下：输出量（拉式变换后的量）/输入量（拉式变换后的量）的比值。比如在验证复阻抗满足欧姆定律时，我们就可以单独的把右侧电容的电压取出来作为输出量，而左侧的电源u作为输入量，让二者拉氏变换的结果去做比得到传递函数。
其中这里的G(s)表示传递函数；C是出的拼音首写，所以输入为C(s)；R同理则为输入量。
（2）传递函数的性质
传递函数会满足如下性质：
（1）传递函数必定是有理真分式。 这是因为实际物理系统是因果系统，输出只能在输入施加之后才会变化，不可能输入还没来，输出就先动了。下面我们只证明了一种情况，具体严格的证明工科就不管了，这是数学内容。
（2）**传递函数必定是在零初始条件下得到的结果。**这是传递函数的定义，无需多言。
（3）传递函数本质上就是两个拉氏变换的比值，所以必然可以将两边交叉相乘，且都做反拉氏变换反解出原本时域的微分方程。于是这里反解出来的微分方程我们会称为系统微分方程。
（4）**在输入信号为单位冲激条件下，传递函数本身的逆拉式变换是单位脉冲响应。**所谓脉冲响应就是在单位冲激条件下的输出响应时域函数g(t)。这个我目前感觉没啥用，可能在后续学时域分析的时候有用吧。
（5）**传递函数只能反映出输出量与输入量的关联，即与内部拓扑结构相关。**而与输入量的形式大小无关。即一个系统的比值确定了，那么怎么改变输入量，比值都不会改变。
（3）利用传递函数零初始条件的性质求解系统微分方程
有时候题目会直接给我们传递函数，同时给出非零初始条件。但我们只需要记住一点：任何条件下系统满足的微分方程始终不变。即零条件下是这个微分方程，你换成任意条件下都是这个微分方程。
三、常见基本环节及传递函数
由于实际系统往往是比较复杂的，为了方便分析与计算，通常会把复杂系统解耦成一个个的小环节，每一个环节都是一个最小基本单元。
在这里的命名大多都是以传递函数的形式而得名的。下面列举了常见的几种环节，这些环节大家没必要死记硬背，用到的时候自然可以方便的列写出微分方程，从而快速得到。
（1）比例环节
比例环节顾名思义就是输出量与输入量成固定的比例K。无论是时域还是复频域（拉氏变换后的结果）都满足这个固定比例K。
比例环节常见于齿轮放大器、电子放大器（电位器、测速发电机）等中。
（2）惯性环节
惯性环节顾名思义，存在某些储能元件，使得输出量不能跟随输入量突变，而是有一定变化的过程，存在滞后、惯性。其中这个用于表示滞后时间的参数我们提取出来称为时间常数T（不一定就是滞后时间，但一定有T越大惯性越大，滞后越强）。
比如下面的R-C电路就是一个惯性环节，R和C的增大都会导致时间常数T增大：
对 RC 电路有：
T=RC
- R 越大，充电电流越小，电容电压上升越慢；
- C 越大，储存电荷越多，电压变化越慢；
- 所以 T 越大，惯性越强，响应越慢。
这和我们前面记的一致：
T 越大，惯性越大，滞后越强，输出跟随输入越慢。
（3）积分环节
积分环节常见于累加输出中，例如电容。
（4）延迟环节
延迟环节比较简单，即拉普拉斯变换的时移性质。这个环节就是单纯的让输出量与输入量同步的往后推迟τ个时间，不存在储能的惯性能力。常见的有皮带传输、管道流体传输、网络延迟等。
延迟环节里面的τ直接就是延迟时间了，而不是像惯性环节里面的时间常数T一样仅仅作为惯性大小的参考量。
（5）振荡环节
振荡环节属于二阶系统，形式上可以类比二阶惯性结构，依旧满足：微分方程每出现一阶导数项，就配套一个时间常数T。但它额外引入阻尼比 ξ ，存在共轭复极点，具备独有的振荡特性，不能完全等同于两个惯性环节串联。
常见的振荡环节有RLC振荡电路和阻尼器等。
当然由于振荡环节不仅仅是普通的二阶惯性环节，它还具备振荡的能力，所以分析起来比较复杂，对阻尼系数 ξ 分类讨论可以得到：过阻尼、欠阻尼、临界阻尼、无阻尼4种情况，这些将在第三章时域分析中详细讲解，目前我们只需要大概知道有这么个概念即可。
（6）微分环节
微分环节不太方便举例子，它是惯性环节、二阶惯性环节（振荡环节）的对偶形式。即你把传递函数做倒数就能得到对方：
微分环节通常是用来对振荡环节、惯性环节做一定校正而存在的，这个是自控中很靠后的内容，暂时不用深入了解。