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度量张量
坐标微元 d x i → 由 g i j 进行投影缩放与角度矫正 真实物理距离 d s \text{坐标微元 } dx^i \xrightarrow{\quad \text{由 } g_{ij} \text{ 进行投影缩放与角度矫正 \quad}} \text{真实物理距离 } ds 坐标微元 dxi由 gij 进行投影缩放与角度矫正 真实物理距离 ds
- 度量张量（Metric Tensor） g i j g_{ij} gij 是张量分析与微分几何的基础，它定义了空间中两点之间微小位移的线元平方（Square of Interval），本质上决定了空间的测量几何规则。
d s 2 = g i j d x i d x j \boxed{ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j} ds2=gijdxidxj
三维欧式空间
- 在三维欧式空间（笛卡尔直角坐标系）中，两点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z) 与 P ′ ( x + d x , y + d y , z + d z ) P'(x+dx, y+dy, z+dz) P′(x+dx,y+dy,z+dz) 之间的勾股定理为：
d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 ds2=dx2+dy2+dz2
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定义坐标变量 x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z x^1 = x,\ x^2 = y,\ x^3 = z x1=x, x2=y, x3=z，则微分为 d x 1 = d x , d x 2 = d y , d x 3 = d z dx^1 = dx,\ dx^2 = dy,\ dx^3 = dz dx1=dx, dx2=dy, dx3=dz。
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微小距离平方表示为：
d s 2 = ( d x 1 ) 2 + ( d x 2 ) 2 + ( d x 3 ) 2 = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 δ i j d x i d x j ds^2 = (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \delta_{ij} dx^i dx^j ds2=(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2=i=1∑3j=1∑3δijdxidxj
- 在平直欧式空间直角坐标系下，度量张量即为单位矩阵：
g i j = δ i j \boxed{g_{ij} = \delta_{ij}} gij=δij
- 克罗内克符号（Kronecker delta） δ i j \delta_{ij} δij：
δ i j = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 \delta_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} δij= 100010001
雅可比矩阵+ g i j g_{ij} gij +示例
雅可比矩阵
- 雅可比矩阵 J J J 描述的是"坐标转换/映射本身"，而度量张量 g i j g_{ij} gij 则是由雅可比矩阵对平直（或基准）空间进行"拉回/变换"后得到的"距离测量规则"。
| 概念 | 雅可比矩阵 J J J | 度量张量 g i j g_{ij} gij ( G G G) |
|---|---|---|
| 代数性质 | 描述坐标之间微元线性映射的矩阵（通常非对称，可为非方阵） | 描述内积/距离的对称正定矩阵（必须是方阵） |
| 物理/几何直观 | 局域基底的变换系数（"如何把新坐标系轴画在旧坐标系里"） | 局域空间的测量尺度（"变形后的基底向量模长和夹角"） |
| 联系公式 | J a i = ∂ y a ∂ x i J^a{}_i = \frac{\partial y^a}{\partial x^i} Jai=∂xi∂ya | g i j = ( J T J ) i j = ∑ a ∂ y a ∂ x i ∂ y a ∂ x j \mathbf{g_{ij} = (J^T J)_{ij} = \sum_a \frac{\partial y^a}{\partial x^i} \frac{\partial y^a}{\partial x^j}} gij=(JTJ)ij=∑a∂xi∂ya∂xj∂ya |
| 行列式关系 | det ( J ) \det(J) det(J) 表示线性体积伸缩比 | g = ∥ det ( J ) ∥ \sqrt{g} = \Vert{}\det(J)\Vert{} g =∥det(J)∥ 表示真实体积积分权重因子 |
坐标系变动示例
1. 平面直角坐标 ( x , y ) (x, y) (x,y)
d s 2 = d x 2 + d y 2 ⟹ g i j = 1 0 0 1 ds^2 = dx^2 + dy^2 \implies g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ds2=dx2+dy2⟹gij=1001
2. 平面极坐标 ( r , θ ) (r, \theta) (r,θ)
令 x 1 = r , x 2 = θ x^1 = r,\ x^2 = \theta x1=r, x2=θ，真实线元平方公式为：
d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 \boxed{ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2} ds2=dr2+r2dθ2
对比度量定义 d s 2 = g 11 ( d x 1 ) 2 + g 22 ( d x 2 ) 2 ds^2 = g_{11}(dx^1)^2 + g_{22}(dx^2)^2 ds2=g11(dx1)2+g22(dx2)2，可得度量矩阵为：
g i j = 1 0 0 r 2 g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2 \end{bmatrix} gij=100r2
爱因斯坦求和约定与具体展开
- 按照爱因斯坦求和约定（Einstein Summation Convention）：在一项中若某指标上下重复出现（或在同一层重复出现两次），默认对该指标的所有可能取值进行求和。
d s 2 = g i j d x i d x j = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n g i j d x i d x j ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n g_{ij} dx^i dx^j ds2=gijdxidxj=i=1∑nj=1∑ngijdxidxj
- 以二维坐标为例，完整展开项为：
d s 2 = g 11 d x 1 d x 1 + g 12 d x 1 d x 2 + g 21 d x 2 d x 1 + g 22 d x 2 d x 2 ds^2 = g_{11} dx^1 dx^1 + g_{12} dx^1 dx^2 + g_{21} dx^2 dx^1 + g_{22} dx^2 dx^2 ds2=g11dx1dx1+g12dx1dx2+g21dx2dx1+g22dx2dx2
- 由于度量张量对称（ g 12 = g 21 g_{12} = g_{21} g12=g21），可简化为：
d s 2 = g 11 ( d x 1 ) 2 + 2 g 12 d x 1 d x 2 + g 22 ( d x 2 ) 2 \boxed{ds^2 = g_{11} (dx^1)^2 + 2 g_{12} dx^1 dx^2 + g_{22} (dx^2)^2} ds2=g11(dx1)2+2g12dx1dx2+g22(dx2)2
注：
- x 1 , x 2 x^1, x^2 x1,x2 中的上标 1 , 2 1, 2 1,2 代表坐标分量索引 （如 x , y x, y x,y），而非乘方。
- ( d x 1 ) 2 (dx^1)^2 (dx1)2 表示微元 d x 1 dx^1 dx1 的平方 ，切勿误认为二阶微分 d 2 x d^2x d2x。
向量内积与模长本质
- 度量张量不仅用于求距离，更定义了弯曲或任意坐标系下的向量内积（Inner Product）：
- 两向量内积：
A ⋅ B = g i j A i B j \boxed{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = g_{ij} A^i B^j} A⋅B=gijAiBj
- 向量模长平方：
∣ A ∣ 2 = g i j A i A j \boxed{\vert{}\mathbf{A}\vert{}^2 = g_{ij} A^i A^j} ∣A∣2=gijAiAj
- 距离公式的本质： 距离平方 d s 2 ds^2 ds2 即是微小位移向量 d x d\mathbf{x} dx 与自身的内积。
d s 2 = d x ⋅ d x = g i j d x i d x j ds^2 = d\mathbf{x} \cdot d\mathbf{x} = g_{ij} dx^i dx^j ds2=dx⋅dx=gijdxidxj
和空间范数的关系
在欧式空间或矩阵理论中，我们熟悉的几种向量范数：
| 范数类型 | 表达式 | 几何等高线（单位球）形状 | 与 g i j g_{ij} gij 的关系 |
|---|---|---|---|
| L 1 L^1 L1 范数 | ∥ x ∥ 1 = ∑ ∥ x i ∥ \Vert{}\mathbf{x}\Vert{}_1 = \sum \Vert{}x^i\Vert{} ∥x∥1=∑∥xi∥ | 菱形/正八面体 | 非平滑，不可由内积/度量张量诱导 |
| L ∞ L^\infty L∞ 范数 | ∥ x ∥ ∞ = max ∥ x i ∥ \Vert{}\mathbf{x}\Vert{}_\infty = \max \Vert{}x^i\Vert{} ∥x∥∞=max∥xi∥ | 正方形/立方体 | 非平滑，不可由内积/度量张量诱导 |
| 标准 L 2 L^2 L2 范数 | ∥ x ∥ 2 = ∑ ( x i ) 2 \Vert{}\mathbf{x}\Vert{}_2 = \sqrt{\sum (x^i)^2} ∥x∥2=∑(xi)2 | 标准圆/正球体 | 对应 平直空间 的度量 g i j = δ i j g_{ij} = \delta_{ij} gij=δij |
| 加权 L 2 L^2 L2 范数（马氏距离） | ∥ x ∥ A = x T A x \Vert{}\mathbf{x}\Vert{}_A = \sqrt{\mathbf{x}^T A \mathbf{x}} ∥x∥A=xTAx | 椭圆/椭球体 | 对应 均匀或变系数 的度量 g i j = A i j g_{ij} = A_{ij} gij=Aij |
注：
- 如果空间是"均匀各向同性"的（平直欧式空间）， g i j = I g_{ij} = I gij=I，向量范数就是标准的 L 2 L^2 L2 范数（勾股定理），单位球是正球体。
- 如果空间在不同方向上的缩放不同，或者坐标轴不垂直（有交叉项 g 12 ≠ 0 g_{12} \neq 0 g12=0），度量张量 g i j g_{ij} gij 实际上把标准的 L 2 L^2 L2 范数的"单位球"拉伸拉斜成了一个椭球体。