洛谷题目：P1233 [ICPC 2001 Taejon R] 木棍加工题解（本题较难）

介绍：

前言：

本题求最少准备时间 ⇔ 求排序后宽度数组的最长严格上升子序列长度。以下是小亦的详细讲解⬇️

题目传送门：

https://www.luogu.com.cn/problem/P1233

#解题思路步骤：

1、明确问题规则与核心：

1.1、给定n根木棍，每根拥有长度l、宽度w，及其加工木棍存在准备的时间规则：第一根耗时了1分钟，如果后一根木棍长、宽均≤前一根，则无需额外准备，否则加1分钟的准备是假，并且要求求出加工全部木棍的最小总准备timing。

1.2、该题可以通过Dilworth定理转换成经典的最长上升至序列问题。具体：将木棍按照长度降序、同长度宽度降序并进行排序之后，最小准备时间等价于宽度序列的最长严格上升至序列长度。

1.3、本题不建议暴力枚举，若暴力枚举所有排序进行模拟加工，时间阶乘复杂度无法通过。

2、问题转化以及逻辑推导：

2.2、题目给的问题等价于：把所有木棍划分成尽可能少的递减序列。根据Dilworth定理，最少划分链的数量=最长反链长度。排序后反链对应宽度严格上升序列，因此只需求出宽度序列最长上升子序列长度即可。

3、动态dp状态设计：

我们仅需要一维dp数组去存储子问题答案，不需要复杂图结构：

3.1、do $i$ ：以排序后第i根木棍为结尾的最长严格上升宽度子序列长度。

3.2、答案：整个dp数组中的最大值，就是最少的准备时间。

##完成解题三步走：

小亦提供思维导图让大家更加清晰易懂！

###复杂度：

1、时间复杂度：

。

2、空间复杂度：

。

####代码：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct stick1 {
    int l, w;
};

// 排序规则：长度降序，长度相等则宽度降序
bool cmp(const stick1 &a, const stick1 &b) {
    if (a.l != b.l)
        return a.l > b.l;
    return a.w > b.w;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<stick1> stick2(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> stick2[i].l >> stick2[i].w;
    }
    sort(stick2.begin(), stick2.end(), cmp);

    vector<int> w;
    for (auto &s : stick2) {
        w.push_back(s.w);
    }

    // 求最长上升子序列 LIS
    vector<int> dp(n, 1);
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            if (w[j] < w[i]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        ans = max(ans, dp[i]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

--- 感谢观看---

制作：Code.小亦

代码提供：Code.小亦

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代码部分思路提供：无

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初审：Code.小亦。

终审：Code.小亦。

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