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（2）提取各极点的实部比值，定义为b：决定谁的衰减系数占主导地位
（4）什么情况可以忽略一阶惯性系统-RC滤波器的作用？b>10即可
[2.1 当z比较靠近虚轴时：](#2.1 当z比较靠近虚轴时：)
一、为什么要针对高阶系统提出更好的分析方法？
前面的文章中，我们已经学会了阶跃输入条件下的二阶系统，包括其各种阻尼情况的分析。二阶系统的基本动态性能指标（超调量、调节时间）等我们已经明确用公式求解出来了，他们都可以用阻尼比ζ、自然频率Wn来表示，分析起来十分方便。
但现实中，电机、滤波器大多是3阶及以上的更高阶系统组成，这是因为电机本身已经是2阶系统了，再加上各种各样层层嵌套的控制器，很容易就演变成高阶系统。而高阶系统的传递函数虽然方便求解，但时域函数计算量很大，仅仅是一个二阶系统的时域函数我们都没有完整推导出来，更何况三阶呢？
于是为了工程上的方便，工程师们发明了主导极点法，把高阶系统降阶等价成熟悉的二阶、一阶系统，于是以后分析的时候可以直接套用二阶公式了。不过这样会产生一定程度上的误差，这也是我们后续分析的重点。
一、三阶系统的主导极点法
（1）二阶伺服电机+一阶RC滤波器=三阶系统，以此为例
现在我们手上有一个伺服电机，为了让他运行的较为稳定，我们给他加上了P/PD/PID等控制器，并将电机传递函数写成通用形式（如图所示）。
然后可能输入的控制器信号是不稳定的，比如在0.9-1.1之间波动，于是我们再串联一个RC滤波电路，使其波动大大减小，比如成为0.98-1.02之间波动，完全可以当做一个直流恒定稳态输入，可以提高后续二阶电机系统的稳定性。
于是此时整体就升级成为了一个三阶系统，分析他的时域函数并不方便，我们接着往下看：
（2）提取各极点的实部比值，定义为b：决定谁的衰减系数占主导地位
b的含义是滤波器的极点实部/原二阶电机系统的极点实部 的 比值。
这个比值并不是随随便便定义出来的，而是观察时域函数C(t)的各个子项中的衰减系数得到的，这个比值b专门用来判断谁在时域响应图中占据主导地位，即谁是主导极点。
（3）b=∞时候的含义：与原系统等价
我们先来看看将b抽离成一个变量后，控制器b的改变，对于响应时域曲线有什么影响：
很明显的发现：当b越大的时候，曲线越接近b=∞情况。那么b=∞时候有什么含义呢？
（4）什么情况可以忽略一阶惯性系统-RC滤波器的作用？b>10即可
然后我们对衰减系数进行分析，讨论出不同范围内的b会对系统时域曲线有多大影响**（以下的分析都是用指数衰减系数计算得到的，我们这里直接给出了工程结果，感兴趣的同学可以自己去尝试计算一下）**：
简单总结一下：
想要精准近似成二阶系统，则要求b>10。即两个极点的实部模值有十倍以上的差距。而b低于10的情况都会受到一阶系统的影响，不可忽略，建议直接使用matlab等仿真软件进行分析。
三、高阶系统的主导极点法
（1）提出问题：主导极点法具有普遍性吗？
我们刚刚是基于三阶系统进行的分析，此时极点只存在下图两种可能，但这样得到的主导极点法具有普遍意义吗？如果更高阶的系统有多个共轭极点、多个实极点时，该如何找到主导极点呢？
图中橙色为高阶系统的极点，黑色为刚刚分析的三阶系统的极点。
（2）高阶系统可以看做多个2阶+1阶系统的串联总系统
比如我们现在除了一阶RC滤波电路、二阶电机系统外，还多串联了一个RLC电路进来（不知道这样串联有什么含义，但我们现在是为了模拟构造高阶系统，实际工程的系统可能更加复杂），如下图所示：
可以写出它的传递函数：
根据留数定理，可以拆分成多个极点情况求解其留数和，最终得到拉式反变换的时域函数，而这里每一个时域分量之间都是用加法连接的，于是可以写成下面的通用形式：
于是这和我们刚刚在三阶系统分析的完全一致，整体的时域函数图主要看各个子项的衰减系数，如果存在某一个衰减系数大致都是其他衰减系数的1/10，则整体波形图基本只由这一个衰减系数对应的子项决定。这个子项可能是一阶系统、同样也可能是二阶系统。所以主导极点法在子项拆解的作用下，同样成立。
反映到S域的极点图中就是：判断各个极点的实部之间的差距有多大。即找到最靠近虚轴（实部最小）的极点，然后看其他极点的实部是不是都比他大10倍以上即可。
四、零点、极点靠近形成偶极子，作用相互抵消
（1）加入零点后时域响应函数中系数的改写
所谓零点就是分子为0的点，我们刚刚分析的系统都是无零点系统，下面我们来看看如果对一个系统增加零点后，它的响应曲线又会发生什么样的变化。
关于这里复杂的系数变换公式，我们并不在意它具体是怎么推导的，甚至也不需要记忆。只需要配合下面的思考，得到关于零点的结论即可。
（2）偶极子情况下，作用相互抵消
针对该图进行下述分析有：
于是我们得到结论：
如果一个系统的极点和零点非常接近时（一般工程上认为非常小的定义为---极、零之间的距离<1/10*极点实部长度），这个极点对应的分量可直接忽略不计。
不过有一点需要注意---偶极子只能发生在同阶的零点、极点之间。比如实轴上的零点绝对不可能与非实轴上的共轭复极点相互抵消，即便他们距离再近都不行，必须要阶数对应。
五、零点对波形图的改造作用
在这里我们只需要掌握、记忆零点在实轴上对波形的改造作用，因为它有统一的变化规律；至于零点为复共轭情况不必讨论，不同的系统情况不同，很难总结规律。好在是日常的自控工程中只需要我们掌握实零点对波形的改造即可，共轭复零点极少数情况才会遇到。此时建议直接用matlab图分析更加精准、方便。
（1）实轴零点的系数改写，偶极子作用验证
由于零点是一阶的，与刚刚改造的二阶系数完全不适用，于是工程师们只针对一阶系统分析出了新的系数变换公式。（这里同样不用在意它是怎么推导而来的，观察作用即可）
首先可以回顾与刚刚偶极子相同的结论：
抵消作用仅仅存在于同阶零、极点中，比如这里的B、C系数就无法完全抵消，始终存在一部分不为0。
（2）实零点对波形的改造作用分析
然后我们再来分析改造作用的重点，可以分为如下两种情况讨论：
（1）零点靠近虚轴
（2）零点远离虚轴
由于我们选取的主极点一般比较靠近虚轴，所以零点的分布也可以理解成：零点与主极点实轴的距离。
2.1 当z比较靠近虚轴时：
于是稳态、一阶分量都没啥变化，我们着重分析共轭振荡分量即可：
2.2当z远离虚轴时：
远离情况的证明过程也较为复杂，这里不再证明。我们记住结论即可：
当实极点距离虚轴很远时，对波形的改造作用极弱，幅值M'≈M，于是变化一般可以直接忽略。
总结以下：
**实极点距离虚轴越近，影响越大。**具体的会使得超调量增加，同时提升系统的响应速度。
六、从PD控制器的角度理解：零点是如何构造出来的
在学习零点影响这部分内容时候，我一直在好奇一件事情，似乎我们的系统串联再多的环节（一阶惯性环节、二阶振荡环节）都无法让分子出现零点啊？查阅资料后得知这个零点大多数时候是我们加入控制器系统后才诞生的，而一般的环节并不具备增添零点的功能。
于是这个零点的位置就很有讲究了，为了防止超调量过大，我们一般不会让Kp/Kd太小，陷入刚刚分析的困境。而具体是多少则得看题目、工程要求了，这里并没有准确的说法。所以截至目前为止，我们已经讨论了PD控制器的几个特点：
（1）比例 P 提升系统响应速度，加快收敛至稳态；微分项 D 可提前预判误差变化趋势，适度加快响应，同时抑制振荡。但微分作用过强会造成零点靠近虚轴，反而加剧超调与抖动。
（2）为了降低超调与抖动，会严格保持Kp/Kd的比值不会太小。
甚至工程中会利用偶极子配置做进阶优化：把 PD 引入的零点，对准被控对象的某一个实数极点，零极点就近成对抵消。零点带来的超调、波形畸变被抹除，PD 超前提速、预判误差的优势完整保留，不用靠削弱微分来妥协。