上12周 考试和考试周一起考 18 19周
24节课
考察内容：
考虑正确性证明（常用循环不变性+归纳法证明）
循环不变式（Loop Invariant）是算法设计与分析中的一个核心概念，尤其在证明迭代算法 （如排序、查找、图遍历等）的正确性时起着至关重要的作用。它本质上是一种在循环执行过程中始终保持为真的逻辑断言或性质。
一、循环不变式的定义
循环不变式是指：在循环的每次迭代开始前（有时也包括结束后），某个特定条件始终成立。这个条件描述了算法在该时刻所维护的关键状态或结构性质。
更形式化地说，设有一个循环结构，其循环变量为 jj ，循环不变式 I(j)I(j) 是一个关于程序状态（如数组内容、变量值等）的谓词，满足：
- 在首次进入循环前， I(j)I(j) 成立；
- 若某次迭代前 I(j)I(j) 成立，则执行完该次迭代后，下一次迭代开始前 I(j+1)I(j+1) 仍成立；
- 当循环终止时， I(j)I(j) 与终止条件共同蕴含算法的最终目标已达成。
二、为什么循环不变式能用于证明算法正确性？
循环不变式之所以有效，是因为它的验证过程严格对应于数学归纳法的逻辑结构，并通过三个关键步骤确保算法从初始状态到终止状态的每一步都"走在正确的轨道上"。
1. 初始化（Initialization）
证明在第一次循环迭代之前，循环不变式成立。
这相当于数学归纳法中的基础情形（base case）。例如，在插入排序中，当 j=1j=1 时，子数组 A0..j−1=A0A0..j−1=A0 只包含一个元素，显然是有序的，因此不变式"A0..j-1 是非降序排列的"成立。
2. 保持性（Maintenance）
假设在第 kk 次迭代开始前 不变式成立，证明在第 k+1k+1 次迭代开始前它仍然成立。
这对应于数学归纳法的归纳步骤。例如，在插入排序中，若 A0..j−1A0..j−1 已有序，算法将 AjAj 插入到合适位置，使得 A0..jA0..j 依然有序。这一操作由内层 while 循环完成（向右移动大于 key 的元素），从而保证了不变式的延续。
3. 终止（Termination）
当循环结束时，结合循环终止条件和不变式，能够推出算法达到了预期目标。
这是循环不变式区别于纯数学归纳法的关键------归纳在此处停止，并用于推导最终结果。例如，插入排序的外层循环在 j=nj=n （数组长度）时终止，此时不变式表明 A0..n−1A0..n−1 整体有序，即整个数组已排序完成。
正如《算法导论》所强调："第三条性质或许是最重要的，因为我们将使用循环不变式来证明正确性。"
三、循环不变式的实际意义
-
提供清晰的算法理解框架
它迫使程序员明确回答："我在循环中试图维护什么不变的性质？"这种思维习惯能显著减少逻辑错误。
-
支持形式化验证
在高可靠系统（如航天、金融）中，可通过断言（assertion）在代码中嵌入不变式检查，实现运行时验证。例如
1assert is_sorted(A, j) # 每次循环前后检查 A[0:j] 是否有序 -
适用于多种算法范式
- 排序：插入排序（前缀有序）、冒泡排序（后缀已排好最大元素）；
- 查找：线性查找（已检查部分不含目标值）、二分查找（目标若存在必在 l, r 区间内）；
- 链表处理：删除重复节点（当前指针前无重复）。
四、举例说明：插入排序的循环不变式
以升序插入排序为例：
1def INSERTION_SORT(A):
2 j = 1
3 while j < len(A):
4 key = A[j]
5 i = j - 1
6 while i >= 0 and key < A[i]:
7 A[i+1] = A[i]
8 i -= 1
9 A[i+1] = key
10 j += 1- 循环不变式 ：在每次外层循环开始时，子数组
A[0..j-1]是原数组中前j个元素的有序排列。 - 初始化 ：
j=1时，A[0..0]单元素，自然有序。 - 保持 ：假设
A[0..j-1]有序，将A[j]插入后，A[0..j]仍有序。 
- 终止 ：当
j = len(A)时，A[0..len(A)-1]全部有序，算法正确。
算法的效率------空间时间复杂度
独立的，于机器无关
关注相对的近似的时间
考虑在大规模输入下的增长趋势
常数证明法：
证明2^(2n) budengyu O(2^n)
证明：
定义证明法:（和常数证明法一致，就是定义证明法）
常数证明法：
极限证明法：
洛必达：0/0型或∞/∞
算法优化问题
迭代和递归哪个更快
一般迭代反而更快，因为递归要调用函数产生开销，但是迭代只是loop
★流程题 给定递归函数，求输出值，用树状图
★属性归纳法证明递归正确性
★递归的要求：截至条件 有progress 不能fn=fn
分治
要求每个子任务互相独立' mergesort quick sort 子问题不重叠
动态规划
由于斐波那契每次都会计算f0 f1，很大部分会重复计算，因此考虑设计一个表，存储各个子问题的答案，会从O(N*2)->O(n),空间复杂度是n
但这样还要递归调用，调用会花费视觉空间
因此使用自底向上的调用
什么样的问题适合DP解决呢？
满足：
解是由子问题的解组成的
由很多子问题是重复运输的
如何实现？
记住各个子问题的答案
时间复杂度=每个子问题的时间=subpro*time
分治和动态规划的区别
子问题不重叠------分治
子问题重叠------动态规划
如何减少计算的：保存结果、bonttom to top从低到上的计算
DP的步骤：
0/1背包问题
递归解决：
问题转换为，如果第i个物品不选，则从前i-1个物品中选w的物品；
如果选，则从前i-1个物品中选w-wi的物品；
递归做法：
此外为了记录旋量哪些内容，开辟一个bi,w记录选了哪些内容
装不下就保持上一个状态，如果装得下，就看选择原来的东西，还是换新的东西
先横着填，再往下填
但凡放不下（当前重量放不放的下自己），就使用其上面一个的值！！！
但凡放得下，就计算max【a,b+v】,即不选自己和选自己的最大值（上一个值，自己的值+选择了自己后还能装得下的最大值）
同时还需要填写表，表示是从哪里来的（记录选择了哪些物品），然后从最后一个往前找递推链到0,0即可
LCS问题 最长公共子序列
只要顺序一致即可，不要求连续。
长度为n的字符串，最多有2^n种子字符串
如果Xm和Yn是相等的，也就是两个字符串的末尾字符一致
LCS(Xm,Yn)=LCS(Xm-1,Yn-1)+1
如果Xm和Yn是不相等的，也就是两个字符串的末尾字符不一致，那么缩减后一定是要么Xm-1,Yn，要么压缩为Xm,Yn-1
得到递推公式：
依然使用表格法：
如果末尾字符相同，则从对角线来，如果不相同，则选择从上方或左侧来的最大值
先看相不相同，如果相同选择右上的值++，如果不同看上方和左方谁最大，一样默认选上方，也可以走左侧（else if ci-1,j>=ci,j-1）结果的长度是唯一的，但是结果序列不唯一。
最后的步数就是斜着的格子个数。
在只需要计算长度，不需要具体内容的情况下：
如果需要空间优化，还可以只记录本行和前一行，因为推导只需要这两行。
最优二叉树
引入n+1个叶子，n和1是为了约束找不到的场景
概率越高的应该放在越浅的位置
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| pᵢ | 0.15 | 0.1 | 0.05 | 0.1 | 0.2 | |
| qᵢ | 0.05 | 0.1 | 0.05 | 0.05 | 0.05 | 0.1 |
内部节点（关键字）：
- k₂: depth=1 → 1 × 0.1 = 0.1
- k₁: depth=2 → 2 × 0.15 = 0.3
- k₄: depth=2 → 2 × 0.1 = 0.2
- k₃: depth=3 → 3 × 0.05 = 0.15
- k₅: depth=3 → 3 × 0.2 = 0.6
→ 内部节点总和 = 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.15 + 0.6 = 1.35
外部节点（失败节点）：
- d₀: depth=3 → 3 × 0.05 = 0.15
- d₁: depth=3 → 3 × 0.1 = 0.3
- d₂: depth=4 → 4 × 0.05 = 0.2
- d₃: depth=4 → 4 × 0.05 = 0.2
- d₄: depth=4 → 4 × 0.05 = 0.2
- d₅: depth=4 → 4 × 0.1 = 0.4
→ 外部节点总和 = 0.15 + 0.3 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.4 = 1.45
总期望代价：
E(T) = 1.35 + 1.45 = 2.8 ✅
ei,j------最优期望值
wi,j------区间总权重
物理意义清晰：每一层的代价 = 子树代价 + 本层所有节点概率和（因深度+1）
沿着对角线，从低往右上填
贪心算法
保证choise正确 可被拆分为最优子结构
字符编码
定长编码
可变长编码
☆哈夫曼树