647. 回文子串

题目描述

给你一个字符串 sss ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。

子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

示例 1 ：

输入 ：s = "abc"

输出 ：3

解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2 ：

输入 ：s = "aaa"

输出 ：6

解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

算法思想

状态表示 ：对于 sss，用 dpijdpijdpij 表示 i,ji, ji,j 这段子串是否为回文串，其中 (i<=j)(i <= j)(i<=j)。比如 0,20, 20,2 这段子串如果是回文串，dp02dp02dp02 就是 truetruetrue，否则就是 falsefalsefalse

状态转移方程 ：填表时要固定 iii，让 jjj 从 iii 位置开始一直向后移动来枚举以 iii 位置开始的所有子串，如下图所示

对 sisisi 和 sjsjsj 进行分析，得出状态转移方程

1. si==sjsi == sjsi==sj 时，如果 i==ji == ji==j，说明子串只有一个字符，肯定是回文，dpij=truedpij = truedpij=true。如果 i+1==ji + 1 == ji+1==j，说明子串只有两个字符，这两个字符还一样，肯定是回文，dpij=truedpij = truedpij=true。如果 i+1<ji + 1 < ji+1<j，说明子串不只两个字符，中间还有一段 i+1,j−1i +1, j - 1i+1,j−1 的子串，如果这段子串是回文，那 i,ji, ji,j 这段子串肯定是回文了，所以 dpij=dpi+1j−1dpij = dpi+1j-1dpij=dpi+1j−1
2. si!=sjsi != sjsi!=sj 时，肯定不是回文，dpij=falsedpij = falsedpij=false

初始化 ：初始化是为了填表不越界，如果以 dpi+1j−1dpi+1j-1dpi+1j−1 的值填 dpijdpijdpij，当 j==0j == 0j==0 和 i==n−1i == n - 1i==n−1 时会越界，但是 i<=ji <= ji<=j，所以此时 iii 肯定等于 jjj，就直接填 truetruetrue 了，不会越界，不需要初始化

填表顺序 ：由于 dpijdpijdpij 依赖于 dpi+1j−1dpi+1j-1dpi+1j−1 的值，所以要从下往上填

返回值 ：dpdpdp 表中 truetruetrue 的个数

代码

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) 
    {
        int n = s.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, false));

        int ret = 0;
        for (int i = n - 1;i >= 0;--i)
        {
            for (int j = n - 1;j >= i;--j)
            {
                if (s[i] == s[j])
                {
                    dp[i][j] = j <= i + 1 ? true : dp[i + 1][j - 1];
                    // if (i == j) dp[i][j] = true;
                    // else if (i == j - 1) dp[i][j] = true;
                    // else dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                }
                
                if (dp[i][j])
                {
                    ret++;
                }
            }
        }
        return ret;
    }
};