本文涉及知识点
预备知识
预备知识一 ： 线段 A B , B C , A C 。 ∣ A B ∣ + ∣ B C ∣ = ∣ A C ∣ ⟺ B 在线段 A C 上。 线段AB,BC,AC。 |AB|+|BC|=|AC| \iff B在线段AC上。 线段AB,BC,AC。∣AB∣+∣BC∣=∣AC∣⟺B在线段AC上。
高等几何的"对应" (Correspondence)。含义：泛指两个集合或对象之间建立的一种关系，可以是多对多的，也可以是不确定的。
高等数学"映射" (Mapping / Map)含义：这是一个具有严格定义的数学概念，特指将一个集合中的每一个元素，唯一地对应到另一个集合中的一个元素的关系。
刚体变换：平移旋转的组合。矩阵行列式为1。
正交变换：平移旋转反射（镜像）组合。矩阵行列式为 ± 1 \pm 1 ±1。
相交直线，两条直线。共点直线，两条或更多的直线。
1 点变换
1.1点变换的定义
定义1.1 设m与m'是两个集合，如果有一个法则 ψ \psi ψ，通过它对于m中的任意元素M，能得到m'的一个唯一元素M'。则 ψ \psi ψ叫做m到m'中的对应，记为 ψ : M → M ′ \psi:M \to M' ψ:M→M′，或M'= ψ ( M ) \psi (M) ψ(M)。这时M'叫做M在对应 ψ \psi ψ之下的象，反过来M叫做M'在对应 ψ \psi ψ之下的原象。
定义1.2 设有集合m到n'中的对应 ψ \psi ψ，如果在 ψ \psi ψ之下，m'的每个元素M'都有原象。即在m内必定存在元素M，使得M'= ψ \psi ψ(M)。则对应 ψ \psi ψ叫做m到m'上的对应。
定义1.3 ：设集合m到m'上的对应 ψ \psi ψ,如果在 ψ \psi ψ之下，m的任何两个不同元素 M 1 与 M 2 的象也不通，即 M 1 ≠ M 2 时，必有 ψ ( M 1 ) ≠ ψ ( M 2 ) M_1与M_2的象也不通，即M_1\neq M_2时，必有\psi(M_1)\neq \psi(M_2) M1与M2的象也不通，即M1=M2时，必有ψ(M1)=ψ(M2)，则对应 ψ \psi ψ叫做m与m'之间的一一对应。
如果m和m'相同，则对应叫做变换。
定义1.4 ：一个集合m到m中(上)的对应叫做m中(上) 的变换。一个集合m与m间的一一对应叫做m的一一变换。
如果m是点集，则定义1.4的变换叫做点变换，除特别说明，本书中的变换都是点变换。
1.2变换的乘积
以后所说的变换，皆指一一变换。
定义1.5 ：设 ψ 1 , ψ 2 \psi_1,\psi_2 ψ1,ψ2是集合S的两个变换，如果对于S中的任意元素x，先通过 ψ 1 ，再通过 ψ 2 \psi_1，再通过\psi_2 ψ1，再通过ψ2而得到x'。即 x − = x ψ 1 , x ′ = x − ψ 2 。则得到 S 的新变换 ψ : x ′ = x ψ \overset{-}x=x\psi_1,x'=\overset{-}x\psi_2。则得到S的新变换\psi:x'=x\psi x−=xψ1,x′=x−ψ2。则得到S的新变换ψ:x′=xψ，叫做已知变换 ψ 1 , ψ 2 \psi_1,\psi_2 ψ1,ψ2的乘积。
记为： ψ = ψ 1 ψ 2 \psi=\psi_1\psi_2 ψ=ψ1ψ2。由定义可得： x ( ψ 1 ψ 2 ) = ( x ψ 1 ) ψ 2 x(\psi_1\psi_2)=(x\psi_1)\psi_2 x(ψ1ψ2)=(xψ1)ψ2
定理 ：变换的乘法不满足交换律，满足结合律。
证明 ：设 ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 \psi_1,\psi_2,\psi_3 ψ1,ψ2,ψ3是集合S的三个变换，需证明 ψ 1 ( ψ 2 ψ 3 ) = ( ψ 1 ψ 2 ) ψ 3 \psi_1(\psi_2\psi_3)=(\psi_1\psi_2)\psi_3 ψ1(ψ2ψ3)=(ψ1ψ2)ψ3。
对于S中的任何元素x,有定义
x ψ 1 ( ψ 2 ψ 3 ) = ( x ψ 1 ) ( ψ 2 ψ 3 ) = ( x ψ 1 ) ψ 2 ψ 3 x ( ψ 1 ψ 2 ) ψ 3 = x ( ψ 1 ψ 2 ) ψ 3 = ( x ψ 1 ) ψ 2 ψ 3 x\\psi1(\\psi_2\\psi_3)=(x\psi_1)(\psi_2\psi_3)=(x\\psi_1)\\psi_2\psi_3\\ x(\\psi_1\\psi_2)\\psi_3=x(\\psi_1\\psi_2)\psi_3=(x\\psi_1)\\psi_2\psi_3 xψ1(ψ2ψ3)=(xψ1)(ψ2ψ3)=(xψ1)ψ2ψ3x(ψ1ψ2)ψ3=x(ψ1ψ2)ψ3=(xψ1)ψ2ψ3
1.3 恒等变换与逆变换
定义1.6 设有集合S,则使得S的任何元素都不变的变换叫做S的恒等变换，恒等变换记作 ϵ \epsilon ϵ。根据定义有：
x ϵ = x 1.2 ψ ϵ = ϵ ψ = ψ 1.3 \begin{align} x\epsilon & = x &&& 1.2 \\ \psi\epsilon & = \epsilon \psi = \psi &&& 1.3\\ \end{align} xϵψϵ=x=ϵψ=ψ1.21.3
设有集合S的一个一一变换 ψ : x → x ′ \psi:x \to x' ψ:x→x′，则S的另一个变换 ψ − 1 ： x ′ → x \psi^{-1}：x'\to x ψ−1：x′→x，叫做逆变换。
ψ ψ − 1 = ψ − 1 ψ = ϵ ( 1.4 ) \begin{align} \psi\psi^{-1}=\psi^{-1}\psi=\epsilon && (1.4) \end{align} ψψ−1=ψ−1ψ=ϵ(1.4)
2 正交变换
2.1 实例
定理2.1 把平面上的点P(x,y)沿向量(a,b)平行地移到点P'(x',y')，这样，平移变换的代数表示为：
{ x ′ = x + a y ′ = y + b ( 2.1 ) \begin{cases} x'=x+a\\ y'=y+b \end{cases} (2.1) {x′=x+ay′=y+b(2.1)
定理2.2 把平面上点P(x,y)绕原点选择一个定角 θ \theta θ变到点P'(x',y')，这样旋转的变换的代数表示为：
{ x ′ = x cos θ − y sin θ y ′ = x sin θ + y cos θ ( 2.2 ) \begin{cases} x'=x\cos \theta - y\sin \theta\\ y'=x\sin \theta + y \cos \theta \\ \end{cases}(2.2) {x′=xcosθ−ysinθy′=xsinθ+ycosθ(2.2)
如果以( x 0 , y 0 ) x_0,y_0) x0,y0)为旋转中心，则旋转变换的代数表示式为
{ x ′ − x 0 = ( x − x 0 ) cos θ − ( y − y 0 ) sin θ y ′ − y 0 = ( x − x 0 ) sin θ + ( y − y 0 ) cos θ \begin{cases} x'-x_0=(x-x_0)\cos\theta-(y-y_0)\sin\theta\\ y'-y_0=(x-x_0)\sin\theta+(y-y_0)\cos\theta \end{cases} {x′−x0=(x−x0)cosθ−(y−y0)sinθy′−y0=(x−x0)sinθ+(y−y0)cosθ
定理2.3 ：如果取x轴我反射轴，则点P(x,y)变到点P'(x',y')的反射变换的代数表示为：
{ x ′ = x y ′ = − y ( 2.4 ) \begin{cases} x'=x\\ y'=-y\\ \end{cases}(2.4) {x′=xy′=−y(2.4)
取y轴位反射轴
{ x ′ = − x y ′ = − y ( 2.5 ) \begin{cases} x'=-x\\ y'=-y\\ \end{cases}(2.5) {x′=−xy′=−y(2.5)
2.2 正交变换
定义2.1 平面上的变换，如果保持任何两点的距离不变，即当 A → A ′ , B → B ′ A\to A',B\to B' A→A′,B→B′时，必然有|AB|=|A'B'|，这样的变换叫做平面上的正交变换。由前面的定义不难证明，平移、旋转、反射都是正交变换。平移或旋转把一个三角形变成定向相同的三角形；而反射把一个三角形变成定向相反的三角形。
引理 ：正交变换把共线点，变成共线点，把不共线点变成共线点，并且保持两直线间的夹角不变。
根据预备知识一，ABC共线 → ∣ A B ∣ + ∣ B C ∣ = ∣ A C ∣ → ∣ A ′ B ′ ∣ + ∣ B ′ C ′ ∣ = ∣ A ′ C ′ ∣ → \to |AB|+|BC|=|AC| \to |A'B'|+|B'C'|=|A'C'|\to →∣AB∣+∣BC∣=∣AC∣→∣A′B′∣+∣B′C′∣=∣A′C′∣→B'线段A'C'上。
ABC不共线 → B ′ 不线段 A ′ C ′ ， C ′ 不在 A ′ B ′ 上 , B ′ 不在 A ′ C ′ 上 , A ′ 不 在 ′ B C '' \to B'不线段A'C'，C'不在A'B'上,B'不在A'C'上,A'不在'BC'' →B′不线段A′C′，C′不在A′B′上,B′不在A′C′上,A′不在′BC''。如果A'B'C'在同一条直线，三在无法同时存在。
正交变换将不共线三点AOB变换成A'O'B'，则 △ A O B ≈ △ A ′ O ′ B ′ \triangle AOB \approx \triangle A'O'B' △AOB≈△A′O′B′。
定理2.4 ：在正交变换之下
(1) 线段变为等长线段；
(2)，单位向量变成单位向量。
(3)，笛卡尔直角坐标系变为笛卡尔直角坐标系。
(4)，矩形变成全等的矩形。
设正交变换把直角坐标系 O − e 1 e 2 O-e_1e_2 O−e1e2变成直角坐标系 O ′ − e 1 ′ e 2 ′ ，点 P ( x , y ) 变成点 P ′ ( x ′ , y ′ ) O'-e_1'e_2'，点P(x,y)变成点P'(x',y') O′−e1′e2′，点P(x,y)变成点P′(x′,y′)。如果 e 1 ′ 在原坐标系中的坐标为 ( a 11 , a 21 ) ， e 2 '在原坐标系中的坐标为 ( a 12 , a 22 ) ， O ′ 在原坐标系中的坐标为 ( a 13 , a 23 ) 。' e_1'在原坐标系中的坐标为(a_{11},a_{21})，e_2'在原坐标系中的坐标为(a_{12},a_{22})，O'在原坐标系中的坐标为(a_{13},a_{23})。' e1′在原坐标系中的坐标为(a11,a21)，e2'在原坐标系中的坐标为(a12,a22)，O′在原坐标系中的坐标为(a13,a23)。'
点P在原来的坐标系坐标为(x,y)，点P'在新坐标系中的坐标也是(x,y)。
因为 O P ′ ⃗ = O O ′ ⃗ + O ′ P ′ ⃗ \vec {OP'}=\vec{OO'}+\vec{O'P'} OP′ =OO′ +O′P′
故有 O P ′ ⃗ = ( a 13 e 1 + a 23 e 2 ) + ( x e 1 ′ + y e 2 ′ ) \vec {OP'}=(a_{13}e_1+a_{23}e_2)+(xe_1'+ye_2') OP′ =(a13e1+a23e2)+(xe1′+ye2′)
= ( a 13 e 1 + a 23 e 2 ) + x ( a 11 e 1 + a 21 e 2 ) + y ( a 12 e 1 + a 22 e 2 ) =(a_{13}e_1+a_{23}e_2)+x(a_{11}e_1+a_{21}e_2)+y(a_{12}e_1+a_{22}e_2) =(a13e1+a23e2)+x(a11e1+a21e2)+y(a12e1+a22e2)
O P ′ ⃗ 在原坐标系的坐标 = x ′ e 1 + y ′ e 2 \vec{OP'}在原坐标系的坐标=x'e_1+y'e_2 OP′ 在原坐标系的坐标=x′e1+y′e2
由于 e 1 , e 2 正交 e_1,e_2正交 e1,e2正交，故可拆分 e 1 , e 2 e_1,e_2 e1,e2两个方向。
e 1 方向： x ′ = a 13 + x a 11 + y a 12 e_1方向：x'=a_{13}+xa_{11}+ya_{12} e1方向：x′=a13+xa11+ya12
e 2 方向： y ′ = a 23 + x a 21 + y a 22 e_2方向：y'=a_{23}+xa_{21}+y_{a22} e2方向：y′=a23+xa21+ya22
即：
{ x ′ = a 11 x + a 12 y + a 13 y ′ = a 21 x + a 22 y + a 23 ( 2.6 ) \begin{cases} x'=a_{11}x+a_{12}y+a_{13}\\ y'=a_{21}x+a_{22}y+a_{23}\\ \end{cases}(2.6) {x′=a11x+a12y+a13y′=a21x+a22y+a23(2.6)
由于 e 1 ′ 不平行于 e 2 ′ ，故 a 11 a 22 ≠ a 21 a 12 e_1'不平行于e_2'，故a_{11}a_{22} \neq a_{21}a_{12} e1′不平行于e2′，故a11a22=a21a12，即行列式非0，故对任意(x',y')都有唯一解。即正交变换是一一变换。
因为 e 1 ′ 与 e 2 ′ 是垂直的单位向量，故 e 1 ′ . e 2 ′ = 0 , e 1 ′ . e 1 ′ = e 2 ′ . e 2 ′ = 1 e_1'与e_2'是垂直的单位向量，故e_1'.e_2'=0,e_1'.e_1'=e_2'.e_2'=1 e1′与e2′是垂直的单位向量，故e1′.e2′=0,e1′.e1′=e2′.e2′=1而
e 1 ′ = a 11 e 1 + a 21 e 2 e 2 ′ = a 12 e 1 + a 22 e 2 e_1'=a_{11}e_1+a_{21}e_2\\ e_2'=a_{12}e_1+a_{22}e_2 e1′=a11e1+a21e2e2′=a12e1+a22e2
带入2.6中
{ a 11 2 + a 21 2 = 1 a 12 2 + a 22 2 = 1 a 11 a 12 + a 21 a 22 = 0 ( 2 , 8 ) \begin{cases} a_{11}^2+a_{21}^2=1 \\ a_{12}^2+a_{22}^2=1\\ a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}=0 \end{cases}(2,8) ⎩ ⎨ ⎧a112+a212=1a122+a222=1a11a12+a21a22=0(2,8)
定义2.5 满足正交条件(2,8)的线性变换（2.6）必定是正交变换。
证明 ：任取两点 P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) 。 P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)。 P1(x1,y1),P2(x2,y2)。如果在变换(2.6)之下， P 1 , P 2 的象分别为 P 1 ′ ( x 1 ′ , y 1 ′ ) ， P 2 ′ ( x 2 ′ , y 2 ′ ) P_1,P_2的象分别为P_1'(x_1',y_1')，P_2'(x_2',y_2') P1,P2的象分别为P1′(x1′,y1′)，P2′(x2′,y2′)，根据2.6有
( x 1 ′ y 1 ′ ) = A ( x 1 y 1 ) + ( a 13 a 23 ) ( 2.9 ) \begin{pmatrix}x_1'\\y_1' \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_1\\y_1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a_{13}\\a_{23}\end{pmatrix}(2.9) (x1′y1′)=A(x1y1)+(a13a23)(2.9)
( x 2 ′ y 2 ′ ) = A ( x 2 y 2 ) + ( a 13 a 23 ) ( 2.10 ) \begin{pmatrix}x_2'\\y_2' \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_2\\y_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a_{13}\\a_{23}\end{pmatrix}(2.10) (x2′y2′)=A(x2y2)+(a13a23)(2.10)
其中 A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) 其中A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} 其中A=(a11a21a12a22)
(2.10)减(2.9)得
( x 2 ′ − x 1 ′ y 2 ′ − y 1 ′ ) = A ( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) ( 2.11 ) \begin{pmatrix}x_2'-x_1' \\ y_2'-y_1'\end{pmatrix}=A \begin{pmatrix}x_2-x_1 \\ y_2-y_1\end{pmatrix}(2.11) (x2′−x1′y2′−y1′)=A(x2−x1y2−y1)(2.11)
将(2.11)转置得：
( x 2 ′ − x 1 ′ y 2 ′ − y 1 ′ ) = ( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) A ′ (x_2'-x_1' y_2'-y_1')=(x_2-x_1 y_2-y_1)A' (x2′−x1′y2′−y1′)=(x2−x1y2−y1)A′(2.12)
(2.12)乘(2.11)得
( x 2 ′ − x 1 ′ y 2 ′ − y 1 ′ ) ( x 2 ′ − x 1 ′ y 2 ′ − y 1 ′ ) = ( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) A ′ A ( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) (x_2'-x_1' y_2'-y_1')\begin{pmatrix}x_2'-x_1' \\ y_2'-y_1'\end{pmatrix}=(x_2-x_1 y_2-y_1)A'A\begin{pmatrix}x_2-x_1\\ y_2 - y_1\end{pmatrix} (x2′−x1′y2′−y1′)(x2′−x1′y2′−y1′)=(x2−x1y2−y1)A′A(x2−x1y2−y1)
由于A是正交矩阵，故 A A ′ = E AA'=E AA′=E消除AA'后，左右两式都是1行2列矩阵乘以2行一列矩阵，结构是1行1列矩阵。
( x 2 ′ − x 1 ′ ) 2 + ( y 2 ′ − y 1 ′ ) 2 = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 (x_2'-x_1')^2+(y_2'-y_1')^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 (x2′−x1′)2+(y2′−y1′)2=(x2−x1)2+(y2−y1)2即：
∣ P 1 ′ P 2 ′ ∣ 2 = ∣ P 1 P 2 ∣ 2 |P_1'P_2'|^2=|P_1P_2|^2 ∣P1′P2′∣2=∣P1P2∣2
定义2.2 （定义2.1的等价定义）在线性变换
{ x ′ = a 11 x + a 12 y + a 13 y ′ = a 21 x + a 22 y + a 23 \begin{cases} x'=a_{11}x+a_{12}y+a_{13}\\ y'=a_{21}x+a_{22}y+a_{23}\\ \end{cases} {x′=a11x+a12y+a13y′=a21x+a22y+a23
中，如果系数方阵 ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} (a11a21a12a22)满足条件AA'=E（单位阵）,则此线性变换叫做正交变换，A'是A的转置矩阵。
已知在(2.6)式中， ( a 11 , a 21 ) , ( a 12 , a 22 ) 分别是 e 1 ′ , e 2 ′ (a_{11},a_{21}),(a_{12},a_{22})分别是e_1',e_2' (a11,a21),(a12,a22)分别是e1′,e2′在原图中的单位向量。故： ( a 11 , a 21 可写成 ( cos θ , sin θ ) ，其中 θ 是 e 1 方向到 e 1 ′ 方向的旋转角， ( a 12 , a 22 ) 可写成 ( cos ( θ ± π 2 ) , sin ( θ ± π 2 ) ) (a_{11},a_{21}可写成(\cos\theta,\sin\theta)，其中\theta是e_1方向到e_1'方向的旋转角，(a_{12},a_{22})可写成(\cos(\theta \pm \frac \pi 2),\sin(\theta \pm \frac \pi 2)) (a11,a21可写成(cosθ,sinθ)，其中θ是e1方向到e1′方向的旋转角，(a12,a22)可写成(cos(θ±2π),sin(θ±2π))对于图2-9-1的情况，取正号，对于图2-9-2的情况取负号。
故式(2.6)可以写成
{ x ′ = x cos θ − y sin θ + a 13 y ′ = x sin θ + y cos θ + a 23 \begin{cases} x'=x\cos\theta-y\sin\theta+a_{13}\\ y'=x\sin\theta+y\cos\theta+a_{23} \end{cases} {x′=xcosθ−ysinθ+a13y′=xsinθ+ycosθ+a23
或 { x ′ = x cos θ + y sin θ + a 13 y ′ = x sin θ − y cos θ + a 23 或\begin{cases} x'=x\cos\theta+y\sin\theta+a_{13}\\ y'=x\sin\theta-y\cos\theta+a_{23} \end{cases} 或{x′=xcosθ+ysinθ+a13y′=xsinθ−ycosθ+a23
定理2.6 ： 第一种情况是一个平移或是一个旋转与一个平移的乘积。
定理2.7：第二种情况是关于一条直线的轴反射变换或一个轴反射变换与第一种情况的乘积。
2.3 正交变换与坐标变换的关系
坐标变换（坐标系统改变，图形位置不变），点变换（图形位置改变，坐标系不改变），事实上两者是一致的。比如：点旋转 θ ，相当于坐标系旋转 − θ ，点平移 ( a , b ) ，相同与坐标系原点平移 ( − a , − b ) \theta，相当于坐标系旋转-\theta，点平移(a,b)，相同与坐标系原点平移(-a,-b) θ，相当于坐标系旋转−θ，点平移(a,b)，相同与坐标系原点平移(−a,−b)。x轴镜像相当于整个坐标轴镜像。
3 仿射变换
3.1 二平面间的透视仿射对应
设有相交的两个平面 π 与 π ′ , \pi与\pi', π与π′,它们的交线为l，通过平面 π 内的各点 A , B , C . . . 引平行线交于 π ′ 于 A ′ , B ′ , C ′ ⋅ 。这使得平面 π 内的点与平面 π ′ 的点建立一种一一对应关系，这种对应叫做 π 到 π ′ 的透视仿射对应。显然，透视仿射对应与所作平行线的方向有关 \pi内的各点A,B,C...引平行线交于\pi'于A',B',C'\cdot。这使得平面\pi内的点与平面\pi'的点建立一种一一对应关系，这种对应叫做\pi到\pi'的透视仿射对应。显然，透视仿射对应与所作平行线的方向有关 π内的各点A,B,C...引平行线交于π′于A′,B′,C′⋅。这使得平面π内的点与平面π′的点建立一种一一对应关系，这种对应叫做π到π′的透视仿射对应。显然，透视仿射对应与所作平行线的方向有关。
首先不难看出，l上的每个点都是二重点(自对应点)，并且二重点必定在l上，直线l叫在对应轴。简称轴。
T上的一条直线AB，此直线的平行投影是A'B',AB与A'B'要么平行，要么交于l。这样，透视仿射对应也使两平面内的直线建立了一一对应，这个性质叫做保持同素性。
最后引进一个重要概念--单比（仿射比）。
定义3.1 设 P 1 , P 2 P_1,P_2 P1,P2是有向直线上的两个定点，P是这有向直线上的另一点，P分有向线段 P 1 P 2 − 为两个有向现代 P 1 P 和 P 2 P ，则其量数的比 P 1 P P 2 P 叫做三点 P 1 , P 2 , P 的单比，记作 ( P 1 , P 2 , P ) ，即 ( P 1 , P 2 , P ) = P 1 P P 2 P 。 P 1 , P 2 叫做基点， P 叫做分点 \overset{-}{P_1P_2}为两个有向现代P_1P和P_2P，则其量数的比\frac{P_1P}{P_2P}叫做三点P_1,P_2,P的单比，记作(P_1,P_2,P)，即(P_1,P_2,P)=\frac {P_1P}{P_2P}。P_1,P_2叫做基点，P叫做分点 P1P2−为两个有向现代P1P和P2P，则其量数的比P2PP1P叫做三点P1,P2,P的单比，记作(P1,P2,P)，即(P1,P2,P)=P2PP1P。P1,P2叫做基点，P叫做分点。
不难看出，
{ 当 P 内分 P 1 P 2 ‾ 时， ( P 1 P 2 P ) < 0 当 P 外分 P 1 P 2 ‾ 时， ( P 1 P 2 P ) > 0 当 P 与 P 1 重合时 , ( P 1 P 2 P ) = 0 贴别是当 P 时 P 1 P 2 ‾ 中点时， ( P 1 P 2 P ) = − 1 \begin{cases}当P内分\overline{P_1P_2}时，(P_1P_2P)<0 \\ 当P外分\overline{P_1P_2}时，(P_1P_2P)>0\end{cases}\\ 当P与P_1 重合时,(P_1P_2P)=0\\ 贴别是当P时\overline{P_1P_2}中点时，(P_1P_2P)=-1 {当P内分P1P2时，(P1P2P)<0当P外分P1P2时，(P1P2P)>0当P与P1重合时,(P1P2P)=0贴别是当P时P1P2中点时，(P1P2P)=−1
在透视仿射对应里，一个平面内共线三点的单比等于另一个平面内的三个对应点的单比。
可以看成光从无限远处（太阳）以某个角度穿过两块玻璃。
3.2 仿射对应与放射变换
有限个透视仿射对应的乘积为一个仿射对应。仿射对应仍然保持同素性、结合性及单比不变。仿射对应还具有如下性质：
a,平面 π 到 π ′ 的透视仿射对应必是仿射对应 \pi到\pi'的透视仿射对应必是仿射对应 π到π′的透视仿射对应必是仿射对应。
b,一对平行的直线，在放射对应下，对应一对平行直线（仿射对应保持平行性）。
定义3.2 如果平面 π 与平面 π ′ 重合，则 π 到 π ′ 的仿射对应叫做平面 π 到自身的仿射变换 \pi与平面\pi'重合，则\pi到\pi'的仿射对应叫做平面\pi到自身的仿射变换 π与平面π′重合，则π到π′的仿射对应叫做平面π到自身的仿射变换
3.3 仿射坐标系
设已知平面 π \pi π内的一个笛卡尔斜角坐标系O-xy(图3-3-1)。E为单位点，坐标为(1,1)，则 π \pi π内任意点P的坐标(x,y)可以表示为： x = O P x O E x , y = O P y O E y x=\frac {OP_x}{OEx},y=\frac{OP_y}{OE_y} x=OExOPx,y=OEyOPy
此处点 E x 与 E y E_x与E_y Ex与Ey分别是E在x轴与与y轴上与平行与y轴与x轴的射影。
定义3.3 上面所得到的笛卡尔坐标系在仿射对应之下的象叫做仿射坐标系，(x',y')叫做点P'的仿射坐标，记以P'(x',y')。
如果P'(x',y')，则 O ′ P ′ ⃗ = x ′ O ′ E ′ ⃗ x + y ′ O ′ E ′ ⃗ y \vec{O'P'}=x'\vec{O'E'}_x+y'\vec{O'E'}_y O′P′ =x′O′E′ x+y′O′E′ y
笛卡尔坐标系就是仿射坐标系上的测量单位相等时的特殊情况。
定理3.1 设共线三点 P i ( i = 1 , 2 , 3 ) , 它们的仿射坐标为 ( x i , y 1 ) 则单比 P_i(i=1,2,3),它们的仿射坐标为(x_i,y_1)则单比 Pi(i=1,2,3),它们的仿射坐标为(xi,y1)则单比
( P 1 P 2 P 3 ) = x 3 − x 1 x 3 − x 2 = y 3 − y 1 y 3 − y 2 ( 3 , 1 ) (P_1P_2P_3)=\frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}=\frac{y_3-y_1}{y_3-y_2}(3,1) (P1P2P3)=x3−x2x3−x1=y3−y2y3−y1(3,1)
证明 ：过 P 1 P 2 P 3 P_1P_2P_3 P1P2P3左平行于y轴的直线 如果直线 P 1 P 2 P_1P2 P1P2平行与x轴，则 ( P 1 P 2 P 3 ) = P 1 P 3 P 2 P 3 = x 3 − x 1 x 2 − x 1 (P1P2P3)=\frac{P_1P_3}{P_2P_3}=\frac{x_3-x_1}{x_2-x_1} (P1P2P3)=P2P3P1P3=x2−x1x3−x1,故只需要证明两者不平行。 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2和x轴交于Q点。
令a= ¶ 1 Q Q 1 ，则 x 1 = Q 1 , x 2 = Q 2 , x 3 = Q 3 → x 3 − x 1 = Q 3 − Q 1 = ( Q P 3 − Q P 1 ) cos a \P1QQ1，则x_1=Q_1,x_2=Q_2,x_3=Q_3 \to x_3-x_1=Q_3-Q_1=(QP_3-QP_1)\cos a ¶1QQ1，则x1=Q1,x2=Q2,x3=Q3→x3−x1=Q3−Q1=(QP3−QP1)cosa
x 3 − x 2 = Q Q 3 − Q Q 2 = ( Q P 3 − Q P 2 ) cos a x_3-x_2=QQ3-QQ2=(QP_3-QP2)\cos a x3−x2=QQ3−QQ2=(QP3−QP2)cosa
x 3 − x 1 x 3 − x 2 = P 1 P 3 P 2 P 3 \frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}=\frac {P1P3} {P2P3} x3−x2x3−x1=P2P3P1P3得证。
过 P 1 P 2 P 3 做 z 轴得平行线，可证 ( P 1 P 2 P 3 ) = y 3 − y 1 y 2 − y 1 P_1P_2P_3做z轴得平行线，可证(P1P2P3)=\frac{y_3-y_1}{y_2-y_1} P1P2P3做z轴得平行线，可证(P1P2P3)=y2−y1y3−y1
推理：不共线得三对对应点决定唯一一各仿射变换。
定义3.4 平面内的点之间一个一一变换，如果满足以下条件：
(a)，任何共线点的象仍然是共线点。
(b)，任何共线的三点的单比不变。
则此一一变换叫做平面内的仿射变换。
注意：不同方向的线段长度比不保持，比如：x方向放大2倍,y方向不变。
仿射变换的代数形式：
{ x ′ = a 11 x + a 12 y + a 13 y ′ = a 21 x + a 22 y + a 23 （ 3.2 ） \begin{cases} x'=a_{11}x+a_{12}y+a_{13} \\ y'=a_{21}x+a_{22}y+a_{23} \end{cases}（3.2） {x′=a11x+a12y+a13y′=a21x+a22y+a23（3.2）
由于 e 1 ′ 不平行于 e 2 ′ ，故 ( 3.2 ) 式的对应的非常数系数矩阵的行列式不为 0 e_1'不平行于e_2'，故(3.2)式的对应的非常数系数矩阵的行列式不为0 e1′不平行于e2′，故(3.2)式的对应的非常数系数矩阵的行列式不为0。故有解，即存在逆矩阵
{ α 1 β 1 α 2 β 2 } \begin{Bmatrix} \alpha_1 & \beta_1 \\ \alpha_2 & \beta_2 \\ \end{Bmatrix} {α1α2β1β2} 由于存在逆矩阵，故行列式非0。
{ x = α 1 x ′ + β 1 y ′ + γ 1 y = α 2 x ′ + β 2 y ′ + γ 2 （ 3.3 ） \begin{cases} x=\alpha_1x'+\beta_1 y'+\gamma_1 \\ y=\alpha_2x'+\beta_2 y'+\gamma_2 \\ \end{cases}（3.3） {x=α1x′+β1y′+γ1y=α2x′+β2y′+γ2（3.3）
3.5 图形的仿射性质
定理三 ：两条平行直线经过仿射变换后仍变成两条平行直线。
证明 ：设笛卡尔坐标系下，已知二平行直线 l 1 , l 2 : l_1,l_2: l1,l2:
{ l 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 ( 3.4 ) l 2 : a x x + b 2 y + c 2 = 0 ( 3.5 ) 其中 a 1 a 2 = b 1 b 2 ≠ c 1 c 2 \begin{cases} l_1:a_1x+b_1y+c_1=0& (3.4)\\ l_2:a_xx+b_2y+c_2=0&(3.5)\\ 其中\frac {a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac {c_1}{c_2}\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧l1:a1x+b1y+c1=0l2:axx+b2y+c2=0其中a2a1=b2b1=c2c1(3.4)(3.5)
经过仿射变换(3,3)后，(3,4)与(3.5)分别为：
{ a 1 ( α 1 x ′ + β 1 y ′ + γ 1 ) + b 1 ( α 2 x ′ + β 2 y ′ + γ 2 ) + c 1 = 0 . . . → \begin{cases} a_1(\alpha_1x'+\beta_1y'+\gamma_1)+b_1(\alpha_2 x'+\beta_2 y'+ \gamma_2)+c_1=0 \\ ... \end{cases}\to {a1(α1x′+β1y′+γ1)+b1(α2x′+β2y′+γ2)+c1=0...→
{ ( a 1 α 1 + b 1 α 2 ) x ′ + ( a 1 β 1 + b 1 β 2 ) y ′ + a 1 γ 1 + b 1 γ 2 + c 1 = 0 ( 3.7 ) ( a 2 α 1 + b 2 α 2 ) x ′ + ( a 2 β 1 + b 2 β 2 ) y ′ + a 2 γ 1 + b 2 γ 2 + c 2 = 0 ( 3.8 ) \begin{cases} (a_1\alpha_1+b_1\alpha_2)x'+(a_1\beta_1+b_1\beta_2)y'+a_1\gamma_1+b_1\gamma_2+ c_1=0&(3.7)\\ (a_2\alpha_1+b_2\alpha_2)x'+(a_2\beta_1+b_2\beta_2)y'+a_2\gamma_1+b_2\gamma_2+c_2=0&(3.8) \end{cases} {(a1α1+b1α2)x′+(a1β1+b1β2)y′+a1γ1+b1γ2+c1=0(a2α1+b2α2)x′+(a2β1+b2β2)y′+a2γ1+b2γ2+c2=0(3.7)(3.8)
令 a 1 = k a 2 , b 1 = k b 2 a_1=k a_2,b_1= k b_2 a1=ka2,b1=kb2则
a 2 α 1 + b 2 α 2 = k ( a 1 α 1 + b 1 α 2 ) a 2 β 1 + b 2 β 2 = k ( a 1 β 1 + b 1 β 2 ) a 2 γ 1 + b 2 γ 2 = k ( a 1 γ 1 + b 1 γ 2 ) c 1 ≠ k c 2 a_2\alpha_1+b_2\alpha_2 = k(a_1\alpha_1+b_1\alpha_2)\\ a_2\beta_1+b_2\beta_2=k(a_1\beta_1+b_1\beta_2)\\ a_2\gamma_1+b_2\gamma_2=k(a_1\gamma_1+b_1\gamma_2)\\ c1 \neq k c2\\ a2α1+b2α2=k(a1α1+b1α2)a2β1+b2β2=k(a1β1+b1β2)a2γ1+b2γ2=k(a1γ1+b1γ2)c1=kc2
故两直线方向相同，且不重合。
推论1 ： 两条相交直线经仿射变换仍然变成两条相交直线。
推论2 ：共点的直线经仿射变换后仍然变为共点的直线。
定理3.4 两平行线段之比是仿射不变量。
定理3.5 两个三角形面积之比是仿射不变量。
证明 ：设在笛卡尔直角系下，不共线三点 P i ( x i , y i ) ， ( i = 1 , 2 , 3 ) ，则 △ P 1 P 2 P 3 的面积 S △ P 1 P 2 P 3 P_i(x_i,y_i)，(i=1,2,3)，则\triangle P_1P_2P_3的面积S_{\triangle P_1P_2P_3} Pi(xi,yi)，(i=1,2,3)，则△P1P2P3的面积S△P1P2P3为：
S △ P 1 P 2 P 3 = 1 2 ∣ x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 ∣ S_{\triangle P_1P_2P_3}=\frac 1 2 \begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1\\\end{vmatrix} S△P1P2P3=21 x1x2x3y1y2y3111
经过仿射变换后， P i 变成 P i ′ ( x i ′ , y i ′ ) P_i变成P_i'(x_i',y_i') Pi变成Pi′(xi′,yi′)
则 S △ P 1 ′ P 2 ′ P 3 ′ = 1 2 ∣ x 1 ′ y 1 ′ 1 x 2 ′ y 2 ′ 1 x 3 ′ y 3 ′ 1 ∣ 的绝对值 S_{\triangle P_1'P_2'P_3'}=\frac 1 2 \begin{vmatrix}x_1'&y_1'&1\\ x_2'&y_2'&1\\ x_3'&y_3'&1\\\end{vmatrix}的绝对值 S△P1′P2′P3′=21 x1′x2′x3′y1′y2′y3′111 的绝对值
= 1 2 ∣ A ∣ =\frac 1 2 |A| =21∣A∣将A的坐标变用原象的坐标替换。
A = { a 11 x 1 + a 12 y 1 + a 13 a 11 x 2 + a 12 y 2 + a 13 a 11 x 3 + a 12 y 3 + a 13 a 21 x 1 + a 22 y 1 + a 23 a 21 x 2 + a 22 y 2 + a 23 a 21 x 3 + a 22 y 3 + a 23 1 1 1 } = B × C A=\begin{Bmatrix} a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}& a_{11}x_2+a_{12}y_2+a_{13}& a_{11}x_3+a_{12}y_3+a_{13} \\ a_{21}x_1+a_{22}y_1+a_{23}& a_{21}x_2+a_{22}y_2+a_{23}&a_{21}x_3+a_{22}y_3+a_{23}\\ 1&1&1\\ \end{Bmatrix}=B \times C A=⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12y1+a13a21x1+a22y1+a231a11x2+a12y2+a13a21x2+a22y2+a231a11x3+a12y3+a13a21x3+a22y3+a231⎭ ⎬ ⎫=B×C
B = { a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 0 0 1 } C = { x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 1 1 1 } B=\begin{Bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ 0&0&1\end{Bmatrix} C=\begin{Bmatrix} x_1& x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3 \\ 1&1&1 \end{Bmatrix} B=⎩ ⎨ ⎧a11a210a12a220a13a231⎭ ⎬ ⎫C=⎩ ⎨ ⎧x1y11x2y21x3y31⎭ ⎬ ⎫
即仿射变换后的三角形的面积是原始三角形面积的 ∥ B ∥ \begin{Vmatrix}B \end{Vmatrix} B 倍,而B的行列式和: ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} a11a21a12a22 相同。
推论1 ： 两个平行四边形面积之比为仿射不变量。
推论2 ：两个封闭图形面积之比是仿射不变量。
例3：圆的仿射对应图形为椭圆。
3.6 仿射变换的特例
一，正交变换，二，位似变换，三，相似变换。
定义3.5 在平面上取定一点S，规定S的象即S自己，平面上其它点P与其象点P'满足以下条件：
a,点P'在直线SP上。
b,单比(P'PS)=k(k为常数且不等于0,1)，则这种变换叫做位似变换（简称位似），常数k叫做位似比。S叫做位似中心。
在数学上，位似变换（Homothety）和等比缩放（Uniform Scaling）在绝大多数情况下是同一个概念。不过，严格来说，它们之间有一个微小的区别：位似变换的定义通常还包含"中心点"
定义3.6 平面上的变换，如果任意两点P,Q与其象点P',Q'满足以下条件：
∣ P ′ Q ′ ∣ ∣ P Q ∣ = k ( k 为常数 ) \frac |P'Q'| |PQ|=k (k为常数) P∣′Q′∣∣PQ∣=k(k为常数)
这种变换叫做相似变换（简称相似）,k叫做相似比。
k=1时就是正交变换。
相似变换：两直线构成的夹角不变。
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操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。