【Leetcode】乘积最大子数组

1 题目

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续 子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

测试用例的答案是一个 32-位 整数。

请注意，一个只包含一个元素的数组的乘积是这个元素的值。

示例 1:

输入: nums = 2,3,-2,4

输出: 6

解释: 子数组 2,3 有最大乘积 6。

示例 2:

输入: nums = -2,0,-1

输出: 0

解释: 结果不能为 2, 因为 -2,-1 不是子数组。

2 分析

寻找连续子数组，第一反应是用动态规划：

dpi=max(dpi−1∗numsi,dpi−1,numsi)dpi = max(dpi-1*numsi,dpi-1,numsi)dpi=max(dpi−1∗numsi,dpi−1,numsi)

进一步分析，如果dpi−1∗numsi<dpi−1dpi-1*numsi<dpi-1dpi−1∗numsi<dpi−1，其实有两种情况：

• numsi<0，dpi−1>0numsi<0，dpi-1>0numsi<0，dpi−1>0，那么dpi=dpi−1dpi =dpi-1dpi=dpi−1
• numsi>0，dpi−1<0numsi>0，dpi-1<0numsi>0，dpi−1<0，那么dpi=numsidpi =numsidpi=numsi

但有个问题，如果是第一种情况，那么如果numsi+1numsi+1numsi+1也小于0，dpi+1dpi+1dpi+1的最优取值应该是dpi−1∗numsi∗numsi+1dpi-1*numsi*numsi+1dpi−1∗numsi∗numsi+1，但这是无法用上面动态规划的公式得到的。所以，真正的动态规划公式应该是

dpij=max⁡k=i+1j−1{dpik∗dpk+1j}dpij = \max_{k=i+1}^{j-1}\{dpik*dpk+1j\}dpij=k=i+1maxj−1{dpik∗dpk+1j}

但这个公式好像更复杂了，需要罗列路径上所有的k，计算量很大。

仔细思考下，为什么我们不能认为数组长度增加，乘积一定变大呢？是因为新增的数组值可能为负，这个时候最大值需要通过之前的最小值计算得到。所以这题的关键是：当前最小的乘积，遇到负数后，可能变成最大的乘积。

因此，需要同时记录当前的最大值和最小值，另外需要ans记录目前乘积最大的值（有可能当前最大值超过不了历史最大值）。综上，动态规划的公式为

curMax=max⁡(x,curMax∗x,curMin∗x) \text{curMax} = \max(x, \text{curMax}*x, \text{curMin} *x) curMax=max(x,curMax∗x,curMin∗x)

curMin=min⁡(x,curMax∗x,curMin∗x) \text{curMin} = \min(x, \text{curMax}*x, \text{curMin} *x) curMin=min(x,curMax∗x,curMin∗x)

def maxProduct(nums):
    n = len(nums)
    if n==1:
        return nums[0]
    ans, curMax, curMin = nums[0], nums[0], nums[0]
    for i in range(1,n):
        x = nums[i]
        print(x, curMax, curMin, ans)
        newMax = max(x, curMax * x, curMin * x)
        newMin = min(x, curMax * x, curMin * x)
        curMax, curMin = newMax, newMin
        ans = max(ans, curMax)
        print(curMax, curMin, ans)
    return ans