P1216 [IOI 1994 / USACO1.5] 数字三角形 题解复盘

P1216 IOI 1994 / USACO1.5 数字三角形 题解复盘

模块：动态规划

类型：路径DP

目标：求从三角形顶部到底部的最大路径和

基本信息

项目	内容
题目编号、来源	P1216 IOI 1994 / USACO1.5
训练层级	普及
知识版块	路径DP、二维DP、状态转移

解题前・关键信号识别

维度	分析
目标、约束、底层结构	从三角形顶部走到底部，每一步只能走到左下或右下，求路径和最大。属于典型路径DP。
数据规模	r≤1000，可以使用 O(n²) 的动态规划。
候选算法和依据	暴力枚举所有路径，复杂度 O(2^n)，无法通过。 使用动态规划，每个位置只计算一次。
复杂度预判	时间复杂度：O(n²) 空间复杂度：O(n²)

解题后・外化复盘

维度	内容
状态定义	定义： dp[i][j] 表示：从顶点走到第 i 行第 j 个位置时能够获得的最大路径和。
状态转移	左边界： dp[i][1]=dp[i-1][1]+a[i][1] 右边界： dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+a[i][i] 中间位置： dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1])+a[i][j]
遍历顺序	从上往下逐层计算，每一层依赖上一层，因此按行递增遍历。
实现结构 / 核心思路	1. 输入数字三角形。 2. 初始化 dp[1][1]。 3. 按行进行状态转移。 4. 最后一层所有位置中取最大值作为答案。
错因回溯	第一次提交数组开成 105×105，数据范围为 r≤1000，导致数组越界 RE。之后改成 1005×1005 成功 AC。
边界和易错点	1. 第一列只能由正上方转移。 2. 最后一列只能由左上方转移。 3. 最终答案不是 dp[n][n]，而是最后一层的最大值。 4. 注意数组大小要满足 r≤1000。
下次看到什么信号，我应该想到这个方法	看到： ① 网格/三角形路径问题 ② 每个位置只依赖上一层 ③ 求最优路径和 想到：路径DP（二维DP）。

AC完整代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int a[1005][1005];
int dp[1005][1005];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    }

    dp[1][1]=a[1][1];

    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            if(j==1)
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+a[i][j];
            }
            else if(j==i)
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+a[i][j];
            }
            else
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1])+a[i][j];
            }
        }
    }

    int ans=0;

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=max(ans,dp[n][i]);
    }

    cout<<ans;

    return 0;
}

总结

项目	内容
类型	路径DP
状态	dp[i][j]：到达 (i,j) 的最大路径和
转移	从左上或右上转移
边界	第一列、最后一列单独处理
遍历顺序	从上到下、从左到右
最终答案	最后一层所有状态中的最大值

记忆

路径DP

状态：
dp[i][j] = 到达(i,j)的最优值

转移：
由能够到达当前位置的状态转移

边界：
无法同时拥有两个来源的位置单独处理

答案：
最后一层（或终点）取最优